Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 298 / 186
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W127.617187°		 ← 2 971.70 m → N 81.255032°
W127.441406°		 →
↑
2 976.21 m
↓
↑
2 976.21 m
↓
N 81.228267°
W127.617187°		 ← 2 980.73 m →
8 857 849 m²		 N 81.228267°
W127.441406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145751953125 y=0.091064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145751953125 × 211)
    floor (0.145751953125 × 2048)
    floor (298.5)     		tx = 298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.091064453125 × 211)
    floor (0.091064453125 × 2048)
    floor (186.5)     		ty = 186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 298 / 186 ti = "11/298/186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/298/186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 298 ÷ 211
    298 ÷ 2048     		x = 0.1455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 186 ÷ 211
    186 ÷ 2048     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    -0.708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22734010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22734010} λ = -2.22734010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22734010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 298 KachelY 186 -2.22734010 1.41816785 -127.617187 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 299 KachelY 186 -2.22427214 1.41816785 -127.441406 81.255032
    Unten links KachelX 298 KachelY + 1 187 -2.22734010 1.41770070 -127.617187 81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 299 KachelY + 1 187 -2.22427214 1.41770070 -127.441406 81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41770070) × R
    0.000467149999999972 × 6371000     		dl = 2976.21264999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41770070) × R
    0.000467149999999972 × 6371000     		dr = 2976.21264999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22734010--2.22427214) × cos(1.41816785) × R
    0.00306796000000009 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 2971.70281603253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22734010--2.22427214) × cos(1.41770070) × R
    0.00306796000000009 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 2980.72724487698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152498277802654)×R²
    abs(-2.22427214--2.22734010)×0.000461702713422218×R²
    0.00306796000000009×0.000461702713422218×6371000²
    0.00306796000000009×0.000461702713422218×40589641000000     		ar = 8857848.9838392m²