Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29799 / 29809
↖ ↑ ↗
← S 81.283382°
E147.381592°		 ← 185.14 m → S 81.283382°
E147.392578°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
S 81.285047°
E147.381592°		 ← 185.10 m →
34 273 m²		 S 81.285047°
E147.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909408569335938 y=0.909713745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909408569335938 × 215)
    floor (0.909408569335938 × 32768)
    floor (29799.5)     		tx = 29799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909713745117188 × 215)
    floor (0.909713745117188 × 32768)
    floor (29809.5)     		ty = 29809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29799 / 29809 ti = "15/29799/29809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29799/29809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29799 ÷ 215
    29799 ÷ 32768     		x = 0.909393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29809 ÷ 215
    29809 ÷ 32768     		y = 0.909698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909393310546875 × 2 - 1) × π
    0.81878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57229403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.81939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57421150959702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57229403} λ = 2.57229403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57421150959702))-π/2
    2×atan(0.0762138930363284)-π/2
    2×0.0760668409336865-π/2
    0.152133681867373-1.57079632675     		φ = -1.41866264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57229403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41866264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.283382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29799 KachelY 29809 2.57229403 -1.41866264 147.381592 -81.283382
    Oben rechts KachelX + 1 29800 KachelY 29809 2.57248578 -1.41866264 147.392578 -81.283382
    Unten links KachelX 29799 KachelY + 1 29810 2.57229403 -1.41869170 147.381592 -81.285047
    Unten rechts KachelX + 1 29800 KachelY + 1 29810 2.57248578 -1.41869170 147.392578 -81.285047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41866264--1.41869170) × R
    2.90600000001362e-05 × 6371000     		dl = 185.141260000868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41866264--1.41869170) × R
    2.90600000001362e-05 × 6371000     		dr = 185.141260000868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57229403-2.57248578) × cos(-1.41866264) × R
    0.000191749999999935 × 0.151547518497633 × 6371000     		do = 185.136396836746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57229403-2.57248578) × cos(-1.41869170) × R
    0.000191749999999935 × 0.151518794077424 × 6371000     		du = 185.101305957586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41866264)-sin(-1.41869170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151547518497633-0.151518794077424)×R²
    abs(2.57248578-2.57229403)×2.87244202087089e-05×R²
    0.000191749999999935×2.87244202087089e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.87244202087089e-05×40589641000000     		ar = 34273.137400009m²