Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29798 / 17576
↖ ↑ ↗
← N 63.763065°
W 16.314697°		 ← 270.02 m → N 63.763065°
W 16.309204°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
N 63.760636°
W 16.314697°		 ← 270.04 m →
72 926 m²		 N 63.760636°
W 16.309204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454689025878906 y=0.268196105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454689025878906 × 216)
    floor (0.454689025878906 × 65536)
    floor (29798.5)     		tx = 29798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268196105957031 × 216)
    floor (0.268196105957031 × 65536)
    floor (17576.5)     		ty = 17576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29798 / 17576 ti = "16/29798/17576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29798/17576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29798 ÷ 216
    29798 ÷ 65536     		x = 0.454681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17576 ÷ 216
    17576 ÷ 65536     		y = 0.2681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.09063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28474518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2681884765625 × 2 - 1) × π
    0.463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45651475805579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28474518} λ = -0.28474518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45651475805579))-π/2
    2×atan(4.29097833928577)-π/2
    2×1.34183587771824-π/2
    2.68367175543647-1.57079632675     		φ = 1.11287543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28474518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.314697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11287543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.763065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29798 KachelY 17576 -0.28474518 1.11287543 -16.314697 63.763065
    Oben rechts KachelX + 1 29799 KachelY 17576 -0.28464931 1.11287543 -16.309204 63.763065
    Unten links KachelX 29798 KachelY + 1 17577 -0.28474518 1.11283304 -16.314697 63.760636
    Unten rechts KachelX + 1 29799 KachelY + 1 17577 -0.28464931 1.11283304 -16.309204 63.760636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11287543-1.11283304) × R
    4.23900000001698e-05 × 6371000     		dl = 270.066690001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11287543-1.11283304) × R
    4.23900000001698e-05 × 6371000     		dr = 270.066690001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28474518--0.28464931) × cos(1.11287543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442084163167885 × 6371000     		do = 270.019600173623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28474518--0.28464931) × cos(1.11283304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442122185480488 × 6371000     		du = 270.042823737148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11287543)-sin(1.11283304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442084163167885-0.442122185480488)×R²
    abs(-0.28464931--0.28474518)×3.80223126026924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80223126026924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80223126026924e-05×40589641000000     		ar = 72926.4356205676m²