Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29796 / 42945
↖ ↑ ↗
← S 48.694586°
W 16.325684°		 ← 403.16 m → S 48.694586°
W 16.320191°		 →
↑
403.16 m
↓
↑
403.16 m
↓
S 48.698212°
W 16.325684°		 ← 403.14 m →
162 533 m²		 S 48.698212°
W 16.320191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454658508300781 y=0.655296325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454658508300781 × 216)
    floor (0.454658508300781 × 65536)
    floor (29796.5)     		tx = 29796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655296325683594 × 216)
    floor (0.655296325683594 × 65536)
    floor (42945.5)     		ty = 42945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29796 / 42945 ti = "16/29796/42945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29796/42945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29796 ÷ 216
    29796 ÷ 65536     		x = 0.45465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42945 ÷ 216
    42945 ÷ 65536     		y = 0.655288696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.0906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28493693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655288696289062 × 2 - 1) × π
    -0.310577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975707654866623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28493693} λ = -0.28493693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975707654866623))-π/2
    2×atan(0.376925525980559)-π/2
    2×0.360457733041037-π/2
    0.720915466082075-1.57079632675     		φ = -0.84988086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28493693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.325684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84988086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.694586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29796 KachelY 42945 -0.28493693 -0.84988086 -16.325684 -48.694586
    Oben rechts KachelX + 1 29797 KachelY 42945 -0.28484106 -0.84988086 -16.320191 -48.694586
    Unten links KachelX 29796 KachelY + 1 42946 -0.28493693 -0.84994414 -16.325684 -48.698212
    Unten rechts KachelX + 1 29797 KachelY + 1 42946 -0.28484106 -0.84994414 -16.320191 -48.698212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84988086--0.84994414) × R
    6.32799999999989e-05 × 6371000     		dl = 403.156879999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84988086--0.84994414) × R
    6.32799999999989e-05 × 6371000     		dr = 403.156879999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28493693--0.28484106) × cos(-0.84988086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		do = 403.164301166914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28493693--0.28484106) × cos(-0.84994414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660025111378706 × 6371000     		du = 403.135265922993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84988086)-sin(-0.84994414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660072648748226-0.660025111378706)×R²
    abs(-0.28484106--0.28493693)×4.75373695206782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75373695206782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75373695206782e-05×40589641000000     		ar = 162532.608960927m²