Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29795 / 29291
↖ ↑ ↗
← S 80.377218°
E147.337646°		 ← 204.21 m → S 80.377218°
E147.348633°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 80.379054°
E147.337646°		 ← 204.17 m →
41 694 m²		 S 80.379054°
E147.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909286499023438 y=0.893905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909286499023438 × 215)
    floor (0.909286499023438 × 32768)
    floor (29795.5)     		tx = 29795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893905639648438 × 215)
    floor (0.893905639648438 × 32768)
    floor (29291.5)     		ty = 29291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29795 / 29291 ti = "15/29795/29291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29795/29291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29795 ÷ 215
    29795 ÷ 32768     		x = 0.909271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29291 ÷ 215
    29291 ÷ 32768     		y = 0.893890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909271240234375 × 2 - 1) × π
    0.81854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57152704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.78778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47488625358426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57152704} λ = 2.57152704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47488625358426))-π/2
    2×atan(0.0841725640402716)-π/2
    2×0.0839746167228934-π/2
    0.167949233445787-1.57079632675     		φ = -1.40284709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57152704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.337646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40284709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.377218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29795 KachelY 29291 2.57152704 -1.40284709 147.337646 -80.377218
    Oben rechts KachelX + 1 29796 KachelY 29291 2.57171879 -1.40284709 147.348633 -80.377218
    Unten links KachelX 29795 KachelY + 1 29292 2.57152704 -1.40287914 147.337646 -80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 29796 KachelY + 1 29292 2.57171879 -1.40287914 147.348633 -80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40284709--1.40287914) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40284709--1.40287914) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57152704-2.57171879) × cos(-1.40284709) × R
    0.000191749999999935 × 0.167160793749211 × 6371000     		do = 204.210186705122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57152704-2.57171879) × cos(-1.40287914) × R
    0.000191749999999935 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 204.17158396638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40284709)-sin(-1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167160793749211-0.167129194618173)×R²
    abs(2.57171879-2.57152704)×3.15991310381458e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15991310381458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15991310381458e-05×40589641000000     		ar = 41693.8491853287m²