Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29794 / 42909
↖ ↑ ↗
← S 48.563885°
W 16.336670°		 ← 404.21 m → S 48.563885°
W 16.331177°		 →
↑
404.24 m
↓
↑
404.24 m
↓
S 48.567520°
W 16.336670°		 ← 404.18 m →
163 392 m²		 S 48.567520°
W 16.331177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454627990722656 y=0.654747009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454627990722656 × 216)
    floor (0.454627990722656 × 65536)
    floor (29794.5)     		tx = 29794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654747009277344 × 216)
    floor (0.654747009277344 × 65536)
    floor (42909.5)     		ty = 42909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29794 / 42909 ti = "16/29794/42909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29794/42909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29794 ÷ 216
    29794 ÷ 65536     		x = 0.454620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42909 ÷ 216
    42909 ÷ 65536     		y = 0.654739379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.09075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28512868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654739379882812 × 2 - 1) × π
    -0.309478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.972256198093979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28512868} λ = -0.28512868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972256198093979))-π/2
    2×atan(0.378228715797954)-π/2
    2×0.361598316138815-π/2
    0.72319663227763-1.57079632675     		φ = -0.84759969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28512868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.336670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84759969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.563885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29794 KachelY 42909 -0.28512868 -0.84759969 -16.336670 -48.563885
    Oben rechts KachelX + 1 29795 KachelY 42909 -0.28503281 -0.84759969 -16.331177 -48.563885
    Unten links KachelX 29794 KachelY + 1 42910 -0.28512868 -0.84766314 -16.336670 -48.567520
    Unten rechts KachelX + 1 29795 KachelY + 1 42910 -0.28503281 -0.84766314 -16.331177 -48.567520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84759969--0.84766314) × R
    6.34499999999649e-05 × 6371000     		dl = 404.239949999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84759969--0.84766314) × R
    6.34499999999649e-05 × 6371000     		dr = 404.239949999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28512868--0.28503281) × cos(-0.84759969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661784548781018 × 6371000     		do = 404.209908770405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28512868--0.28503281) × cos(-0.84766314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661736979359643 × 6371000     		du = 404.180853949604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84759969)-sin(-0.84766314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661784548781018-0.661736979359643)×R²
    abs(-0.28503281--0.28512868)×4.75694213744049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75694213744049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75694213744049e-05×40589641000000     		ar = 163391.920805916m²