Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29794 / 19742
↖ ↑ ↗
← N 57.990632°
W 16.336670°		 ← 323.75 m → N 57.990632°
W 16.331177°		 →
↑
323.77 m
↓
↑
323.77 m
↓
N 57.987720°
W 16.336670°		 ← 323.78 m →
104 827 m²		 N 57.987720°
W 16.331177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454627990722656 y=0.301246643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454627990722656 × 216)
    floor (0.454627990722656 × 65536)
    floor (29794.5)     		tx = 29794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301246643066406 × 216)
    floor (0.301246643066406 × 65536)
    floor (19742.5)     		ty = 19742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29794 / 19742 ti = "16/29794/19742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29794/19742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29794 ÷ 216
    29794 ÷ 65536     		x = 0.454620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19742 ÷ 216
    19742 ÷ 65536     		y = 0.301239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.09075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28512868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301239013671875 × 2 - 1) × π
    0.39752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2488521089017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28512868} λ = -0.28512868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2488521089017))-π/2
    2×atan(3.48633872250348)-π/2
    2×1.29146189422212-π/2
    2.58292378844424-1.57079632675     		φ = 1.01212746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28512868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.336670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01212746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.990632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29794 KachelY 19742 -0.28512868 1.01212746 -16.336670 57.990632
    Oben rechts KachelX + 1 29795 KachelY 19742 -0.28503281 1.01212746 -16.331177 57.990632
    Unten links KachelX 29794 KachelY + 1 19743 -0.28512868 1.01207664 -16.336670 57.987720
    Unten rechts KachelX + 1 29795 KachelY + 1 19743 -0.28503281 1.01207664 -16.331177 57.987720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01212746-1.01207664) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dl = 323.774220000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01212746-1.01207664) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dr = 323.774220000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28512868--0.28503281) × cos(1.01212746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530057918233995 × 6371000     		do = 323.752893848977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28512868--0.28503281) × cos(1.01207664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530101010949862 × 6371000     		du = 323.779214352805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01212746)-sin(1.01207664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530057918233995-0.530101010949862)×R²
    abs(-0.28503281--0.28512868)×4.30927158669991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30927158669991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30927158669991e-05×40589641000000     		ar = 104827.101651802m²