Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29793 / 29601
↖ ↑ ↗
← S 80.930158°
E147.315674°		 ← 192.58 m → S 80.930158°
E147.326660°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 80.931889°
E147.315674°		 ← 192.54 m →
37 074 m²		 S 80.931889°
E147.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909225463867188 y=0.903366088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909225463867188 × 215)
    floor (0.909225463867188 × 32768)
    floor (29793.5)     		tx = 29793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903366088867188 × 215)
    floor (0.903366088867188 × 32768)
    floor (29601.5)     		ty = 29601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29793 / 29601 ti = "15/29793/29601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29793/29601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29793 ÷ 215
    29793 ÷ 32768     		x = 0.909210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29601 ÷ 215
    29601 ÷ 32768     		y = 0.903350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909210205078125 × 2 - 1) × π
    0.81842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57114355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.80670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53432800911313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57114355} λ = 2.57114355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53432800911313))-π/2
    2×atan(0.0793150003179413)-π/2
    2×0.0791493051900381-π/2
    0.158298610380076-1.57079632675     		φ = -1.41249772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57114355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41249772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.930158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29793 KachelY 29601 2.57114355 -1.41249772 147.315674 -80.930158
    Oben rechts KachelX + 1 29794 KachelY 29601 2.57133530 -1.41249772 147.326660 -80.930158
    Unten links KachelX 29793 KachelY + 1 29602 2.57114355 -1.41252794 147.315674 -80.931889
    Unten rechts KachelX + 1 29794 KachelY + 1 29602 2.57133530 -1.41252794 147.326660 -80.931889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41249772--1.41252794) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41249772--1.41252794) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57114355-2.57133530) × cos(-1.41249772) × R
    0.000191749999999935 × 0.157638315040537 × 6371000     		do = 192.57715295732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57114355-2.57133530) × cos(-1.41252794) × R
    0.000191749999999935 × 0.15760847281172 × 6371000     		du = 192.54069651929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41249772)-sin(-1.41252794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157638315040537-0.15760847281172)×R²
    abs(2.57133530-2.57114355)×2.98422288169953e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98422288169953e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98422288169953e-05×40589641000000     		ar = 37073.6817282434m²