Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29792 / 21600
↖ ↑ ↗
← N 76.121893°
W 98.173828°		 ← 73.26 m → N 76.121893°
W 98.171081°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.121234°
W 98.173828°		 ← 73.26 m →
5 368 m²		 N 76.121234°
W 98.171081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227298736572266 y=0.164798736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227298736572266 × 217)
    floor (0.227298736572266 × 131072)
    floor (29792.5)     		tx = 29792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164798736572266 × 217)
    floor (0.164798736572266 × 131072)
    floor (21600.5)     		ty = 21600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29792 / 21600 ti = "17/29792/21600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29792/21600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29792 ÷ 217
    29792 ÷ 131072     		x = 0.227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21600 ÷ 217
    21600 ÷ 131072     		y = 0.164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164794921875 × 2 - 1) × π
    0.67041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10615562170679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71345654} λ = -1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10615562170679))-π/2
    2×atan(8.2165927982303)-π/2
    2×1.44968699591986-π/2
    2.89937399183972-1.57079632675     		φ = 1.32857767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32857767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.121893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29792 KachelY 21600 -1.71345654 1.32857767 -98.173828 76.121893
    Oben rechts KachelX + 1 29793 KachelY 21600 -1.71340860 1.32857767 -98.171081 76.121893
    Unten links KachelX 29792 KachelY + 1 21601 -1.71345654 1.32856617 -98.173828 76.121234
    Unten rechts KachelX + 1 29793 KachelY + 1 21601 -1.71340860 1.32856617 -98.171081 76.121234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32857767-1.32856617) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32857767-1.32856617) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71345654--1.71340860) × cos(1.32857767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239857105219175 × 6371000     		do = 73.2585338557763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71345654--1.71340860) × cos(1.32856617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239868269497661 × 6371000     		du = 73.2619437137944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32857767)-sin(1.32856617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239857105219175-0.239868269497661)×R²
    abs(-1.71340860--1.71345654)×1.11642784859645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11642784859645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11642784859645e-05×40589641000000     		ar = 5367.52128506126m²