Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29792 / 17571
↖ ↑ ↗
← N 63.775205°
W 16.347656°		 ← 269.93 m → N 63.775205°
W 16.342163°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
N 63.772777°
W 16.347656°		 ← 269.95 m →
72 851 m²		 N 63.772777°
W 16.342163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454597473144531 y=0.268119812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454597473144531 × 216)
    floor (0.454597473144531 × 65536)
    floor (29792.5)     		tx = 29792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268119812011719 × 216)
    floor (0.268119812011719 × 65536)
    floor (17571.5)     		ty = 17571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29792 / 17571 ti = "16/29792/17571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29792/17571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29792 ÷ 216
    29792 ÷ 65536     		x = 0.45458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17571 ÷ 216
    17571 ÷ 65536     		y = 0.268112182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268112182617188 × 2 - 1) × π
    0.463775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45699412705199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28532043} λ = -0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45699412705199))-π/2
    2×atan(4.29303579436568)-π/2
    2×1.3419418156612-π/2
    2.6838836313224-1.57079632675     		φ = 1.11308730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11308730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.775205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29792 KachelY 17571 -0.28532043 1.11308730 -16.347656 63.775205
    Oben rechts KachelX + 1 29793 KachelY 17571 -0.28522455 1.11308730 -16.342163 63.775205
    Unten links KachelX 29792 KachelY + 1 17572 -0.28532043 1.11304494 -16.347656 63.772777
    Unten rechts KachelX + 1 29793 KachelY + 1 17572 -0.28522455 1.11304494 -16.342163 63.772777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11308730-1.11304494) × R
    4.2359999999908e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11308730-1.11304494) × R
    4.2359999999908e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28532043--0.28522455) × cos(1.11308730) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441894111455822 × 6371000     		do = 269.931671986053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28532043--0.28522455) × cos(1.11304494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		du = 269.954883958005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11308730)-sin(1.11304494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441894111455822-0.44193211082672)×R²
    abs(-0.28522455--0.28532043)×3.79993708977122e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79993708977122e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79993708977122e-05×40589641000000     		ar = 72851.0933216262m²