Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29791 / 29599
↖ ↑ ↗
← S 80.926693°
E147.293701°		 ← 192.65 m → S 80.926693°
E147.304687°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 80.928426°
E147.293701°		 ← 192.61 m →
37 112 m²		 S 80.928426°
E147.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909164428710938 y=0.903305053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909164428710938 × 215)
    floor (0.909164428710938 × 32768)
    floor (29791.5)     		tx = 29791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903305053710938 × 215)
    floor (0.903305053710938 × 32768)
    floor (29599.5)     		ty = 29599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29791 / 29599 ti = "15/29791/29599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29791/29599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29791 ÷ 215
    29791 ÷ 32768     		x = 0.909149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29599 ÷ 215
    29599 ÷ 32768     		y = 0.903289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    0.81829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57076005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.80657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53394451391617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57076005} λ = 2.57076005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53394451391617))-π/2
    2×atan(0.0793454230727275)-π/2
    2×0.0791795376832022-π/2
    0.158359075366404-1.57079632675     		φ = -1.41243725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57076005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41243725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.926693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29791 KachelY 29599 2.57076005 -1.41243725 147.293701 -80.926693
    Oben rechts KachelX + 1 29792 KachelY 29599 2.57095180 -1.41243725 147.304687 -80.926693
    Unten links KachelX 29791 KachelY + 1 29600 2.57076005 -1.41246749 147.293701 -80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 29792 KachelY + 1 29600 2.57095180 -1.41246749 147.304687 -80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41243725--1.41246749) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41243725--1.41246749) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57076005-2.57095180) × cos(-1.41243725) × R
    0.000191749999999935 × 0.157698028690877 × 6371000     		do = 192.650101496336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57076005-2.57095180) × cos(-1.41246749) × R
    0.000191749999999935 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 192.613621283071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41243725)-sin(-1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157698028690877-0.157668167000313)×R²
    abs(2.57095180-2.57076005)×2.98616905640148e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98616905640148e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98616905640148e-05×40589641000000     		ar = 37112.2694917442m²