Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29790 / 42639
↖ ↑ ↗
← S 47.572820°
W 16.358642°		 ← 412.07 m → S 47.572820°
W 16.353149°		 →
↑
412.08 m
↓
↑
412.08 m
↓
S 47.576526°
W 16.358642°		 ← 412.04 m →
169 798 m²		 S 47.576526°
W 16.353149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454566955566406 y=0.650627136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454566955566406 × 216)
    floor (0.454566955566406 × 65536)
    floor (29790.5)     		tx = 29790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650627136230469 × 216)
    floor (0.650627136230469 × 65536)
    floor (42639.5)     		ty = 42639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29790 / 42639 ti = "16/29790/42639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29790/42639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29790 ÷ 216
    29790 ÷ 65536     		x = 0.454559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42639 ÷ 216
    42639 ÷ 65536     		y = 0.650619506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.09088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28551217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650619506835938 × 2 - 1) × π
    -0.301239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.946370272299149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28551217} λ = -0.28551217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946370272299149))-π/2
    2×atan(0.388147338787242)-π/2
    2×0.370246992834957-π/2
    0.740493985669913-1.57079632675     		φ = -0.83030234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28551217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.358642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83030234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.572820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29790 KachelY 42639 -0.28551217 -0.83030234 -16.358642 -47.572820
    Oben rechts KachelX + 1 29791 KachelY 42639 -0.28541630 -0.83030234 -16.353149 -47.572820
    Unten links KachelX 29790 KachelY + 1 42640 -0.28551217 -0.83036702 -16.358642 -47.576526
    Unten rechts KachelX + 1 29791 KachelY + 1 42640 -0.28541630 -0.83036702 -16.353149 -47.576526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83030234--0.83036702) × R
    6.46799999999281e-05 × 6371000     		dl = 412.076279999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83030234--0.83036702) × R
    6.46799999999281e-05 × 6371000     		dr = 412.076279999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28551217--0.28541630) × cos(-0.83030234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674652623058905 × 6371000     		do = 412.06957116279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28551217--0.28541630) × cos(-0.83036702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674604879051399 × 6371000     		du = 412.040409706915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83030234)-sin(-0.83036702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674652623058905-0.674604879051399)×R²
    abs(-0.28541630--0.28551217)×4.77440075062896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77440075062896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77440075062896e-05×40589641000000     		ar = 169798.087672711m²