Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2979 / 3435
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
W 49.086914°		 ← 4 319.40 m → N 27.877928°
W 49.042969°		 →
↑
4 320.18 m
↓
↑
4 320.18 m
↓
N 27.839076°
W 49.086914°		 ← 4 320.94 m →
18 663 889 m²		 N 27.839076°
W 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36370849609375 y=0.41937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36370849609375 × 213)
    floor (0.36370849609375 × 8192)
    floor (2979.5)     		tx = 2979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41937255859375 × 213)
    floor (0.41937255859375 × 8192)
    floor (3435.5)     		ty = 3435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2979 / 3435 ti = "13/2979/3435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2979/3435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2979 ÷ 213
    2979 ÷ 8192     		x = 0.3636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3435 ÷ 213
    3435 ÷ 8192     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85672827} λ = -0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2979 KachelY 3435 -0.85672827 0.48656164 -49.086914 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 2980 KachelY 3435 -0.85596128 0.48656164 -49.042969 27.877928
    Unten links KachelX 2979 KachelY + 1 3436 -0.85672827 0.48588354 -49.086914 27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 2980 KachelY + 1 3436 -0.85596128 0.48588354 -49.042969 27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48588354) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dl = 4320.17510000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48588354) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dr = 4320.17510000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85672827--0.85596128) × cos(0.48656164) × R
    0.000766989999999912 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 4319.39532326039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85672827--0.85596128) × cos(0.48588354) × R
    0.000766989999999912 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 4320.94370187123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.85596128--0.85672827)×0.000316869075417503×R²
    0.000766989999999912×0.000316869075417503×6371000²
    0.000766989999999912×0.000316869075417503×40589641000000     		ar = 18663889.4711359m²