Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29789 / 42647
↖ ↑ ↗
← S 47.602459°
W 16.364136°		 ← 411.88 m → S 47.602459°
W 16.358642°		 →
↑
411.82 m
↓
↑
411.82 m
↓
S 47.606163°
W 16.364136°		 ← 411.85 m →
169 615 m²		 S 47.606163°
W 16.358642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454551696777344 y=0.650749206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454551696777344 × 216)
    floor (0.454551696777344 × 65536)
    floor (29789.5)     		tx = 29789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650749206542969 × 216)
    floor (0.650749206542969 × 65536)
    floor (42647.5)     		ty = 42647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29789 / 42647 ti = "16/29789/42647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29789/42647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29789 ÷ 216
    29789 ÷ 65536     		x = 0.454544067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42647 ÷ 216
    42647 ÷ 65536     		y = 0.650741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454544067382812 × 2 - 1) × π
    -0.090911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28560805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650741577148438 × 2 - 1) × π
    -0.301483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94713726269307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28560805} λ = -0.28560805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94713726269307))-π/2
    2×atan(0.387849747646328)-π/2
    2×0.369988340030369-π/2
    0.739976680060739-1.57079632675     		φ = -0.83081965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28560805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.364136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83081965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.602459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29789 KachelY 42647 -0.28560805 -0.83081965 -16.364136 -47.602459
    Oben rechts KachelX + 1 29790 KachelY 42647 -0.28551217 -0.83081965 -16.358642 -47.602459
    Unten links KachelX 29789 KachelY + 1 42648 -0.28560805 -0.83088429 -16.364136 -47.606163
    Unten rechts KachelX + 1 29790 KachelY + 1 42648 -0.28551217 -0.83088429 -16.358642 -47.606163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83081965--0.83088429) × R
    6.46399999999492e-05 × 6371000     		dl = 411.821439999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83081965--0.83088429) × R
    6.46399999999492e-05 × 6371000     		dr = 411.821439999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28560805--0.28551217) × cos(-0.83081965) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674270687991092 × 6371000     		do = 411.879247679945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28560805--0.28551217) × cos(-0.83088429) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674222950958275 × 6371000     		du = 411.850087442798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83081965)-sin(-0.83088429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674270687991092-0.674222950958275)×R²
    abs(-0.28551217--0.28560805)×4.773703281713e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.773703281713e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.773703281713e-05×40589641000000     		ar = 169614.700538794m²