Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29789 / 29288
↖ ↑ ↗
← S 80.371707°
E147.271729°		 ← 204.33 m → S 80.371707°
E147.282715°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
S 80.373544°
E147.271729°		 ← 204.29 m →
41 744 m²		 S 80.373544°
E147.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909103393554688 y=0.893814086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909103393554688 × 215)
    floor (0.909103393554688 × 32768)
    floor (29789.5)     		tx = 29789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893814086914062 × 215)
    floor (0.893814086914062 × 32768)
    floor (29288.5)     		ty = 29288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29789 / 29288 ti = "15/29789/29288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29789/29288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29789 ÷ 215
    29789 ÷ 32768     		x = 0.909088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29288 ÷ 215
    29288 ÷ 32768     		y = 0.893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909088134765625 × 2 - 1) × π
    0.81817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57037656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57037656} λ = 2.57037656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47431101078882))-π/2
    2×atan(0.0842209976305109)-π/2
    2×0.084022709379572-π/2
    0.168045418759144-1.57079632675     		φ = -1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57037656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29789 KachelY 29288 2.57037656 -1.40275091 147.271729 -80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 29790 KachelY 29288 2.57056831 -1.40275091 147.282715 -80.371707
    Unten links KachelX 29789 KachelY + 1 29289 2.57037656 -1.40278298 147.271729 -80.373544
    Unten rechts KachelX + 1 29790 KachelY + 1 29289 2.57056831 -1.40278298 147.282715 -80.373544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40275091--1.40278298) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40275091--1.40278298) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57037656-2.57056831) × cos(-1.40275091) × R
    0.000191749999999935 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 204.32602979552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57037656-2.57056831) × cos(-1.40278298) × R
    0.000191749999999935 × 0.16722400135532 × 6371000     		du = 204.287403597643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40275091)-sin(-1.40278298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.16722400135532)×R²
    abs(2.57056831-2.57037656)×3.16183340346443e-05×R²
    0.000191749999999935×3.16183340346443e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.16183340346443e-05×40589641000000     		ar = 41743.5336161258m²