Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29789 / 21598
↖ ↑ ↗
← N 76.123210°
W 98.182068°		 ← 73.25 m → N 76.123210°
W 98.179321°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.122552°
W 98.182068°		 ← 73.26 m →
5 367 m²		 N 76.122552°
W 98.179321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227275848388672 y=0.164783477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227275848388672 × 217)
    floor (0.227275848388672 × 131072)
    floor (29789.5)     		tx = 29789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164783477783203 × 217)
    floor (0.164783477783203 × 131072)
    floor (21598.5)     		ty = 21598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29789 / 21598 ti = "17/29789/21598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29789/21598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29789 ÷ 217
    29789 ÷ 131072     		x = 0.227272033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21598 ÷ 217
    21598 ÷ 131072     		y = 0.164779663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227272033691406 × 2 - 1) × π
    -0.545455932617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.71360035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164779663085938 × 2 - 1) × π
    0.670440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10625149550603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71360035} λ = -1.71360035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10625149550603))-π/2
    2×atan(8.21738059196246)-π/2
    2×1.44969849339099-π/2
    2.89939698678198-1.57079632675     		φ = 1.32860066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71360035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.182068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32860066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.123210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29789 KachelY 21598 -1.71360035 1.32860066 -98.182068 76.123210
    Oben rechts KachelX + 1 29790 KachelY 21598 -1.71355241 1.32860066 -98.179321 76.123210
    Unten links KachelX 29789 KachelY + 1 21599 -1.71360035 1.32858916 -98.182068 76.122552
    Unten rechts KachelX + 1 29790 KachelY + 1 21599 -1.71355241 1.32858916 -98.179321 76.122552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32860066-1.32858916) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32860066-1.32858916) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71360035--1.71355241) × cos(1.32860066) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.239834786275178 × 6371000     		do = 73.2517170761294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71360035--1.71355241) × cos(1.32858916) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.239845950617077 × 6371000     		du = 73.2551269535156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32860066)-sin(1.32858916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239834786275178-0.239845950617077)×R²
    abs(-1.71355241--1.71360035)×1.11643418991281e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.11643418991281e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.11643418991281e-05×40589641000000     		ar = 5367.0218442359m²