Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29788 / 29268
↖ ↑ ↗
← S 80.334887°
E147.260742°		 ← 205.10 m → S 80.334887°
E147.271729°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 80.336731°
E147.260742°		 ← 205.06 m →
42 058 m²		 S 80.336731°
E147.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909072875976562 y=0.893203735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909072875976562 × 215)
    floor (0.909072875976562 × 32768)
    floor (29788.5)     		tx = 29788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893203735351562 × 215)
    floor (0.893203735351562 × 32768)
    floor (29268.5)     		ty = 29268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29788 / 29268 ti = "15/29788/29268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29788/29268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29788 ÷ 215
    29788 ÷ 32768     		x = 0.9090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29268 ÷ 215
    29268 ÷ 32768     		y = 0.8931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    0.818115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57018481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47047605881921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57018481} λ = 2.57018481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47047605881921))-π/2
    2×atan(0.0845446012167621)-π/2
    2×0.0843440250487446-π/2
    0.168688050097489-1.57079632675     		φ = -1.40210828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57018481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40210828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.334887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29788 KachelY 29268 2.57018481 -1.40210828 147.260742 -80.334887
    Oben rechts KachelX + 1 29789 KachelY 29268 2.57037656 -1.40210828 147.271729 -80.334887
    Unten links KachelX 29788 KachelY + 1 29269 2.57018481 -1.40214047 147.260742 -80.336731
    Unten rechts KachelX + 1 29789 KachelY + 1 29269 2.57037656 -1.40214047 147.271729 -80.336731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40210828--1.40214047) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40210828--1.40214047) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57018481-2.57037656) × cos(-1.40210828) × R
    0.000191749999999935 × 0.16788916274398 × 6371000     		do = 205.099990857614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57018481-2.57037656) × cos(-1.40214047) × R
    0.000191749999999935 × 0.167857429565791 × 6371000     		du = 205.061224361611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40210828)-sin(-1.40214047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16788916274398-0.167857429565791)×R²
    abs(2.57037656-2.57018481)×3.17331781892749e-05×R²
    0.000191749999999935×3.17331781892749e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.17331781892749e-05×40589641000000     		ar = 42058.4416628579m²