Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29788 / 21581
↖ ↑ ↗
← N 76.134404°
W 98.184815°		 ← 73.19 m → N 76.134404°
W 98.182068°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.133746°
W 98.184815°		 ← 73.20 m →
5 358 m²		 N 76.133746°
W 98.182068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227268218994141 y=0.164653778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227268218994141 × 217)
    floor (0.227268218994141 × 131072)
    floor (29788.5)     		tx = 29788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164653778076172 × 217)
    floor (0.164653778076172 × 131072)
    floor (21581.5)     		ty = 21581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29788 / 21581 ti = "17/29788/21581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29788/21581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29788 ÷ 217
    29788 ÷ 131072     		x = 0.227264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21581 ÷ 217
    21581 ÷ 131072     		y = 0.164649963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.54547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71364829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164649963378906 × 2 - 1) × π
    0.670700073242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.10706642279957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71364829} λ = -1.71364829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10706642279957))-π/2
    2×atan(8.22407988903753)-π/2
    2×1.44979617870041-π/2
    2.89959235740083-1.57079632675     		φ = 1.32879603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71364829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.184815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32879603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.134404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29788 KachelY 21581 -1.71364829 1.32879603 -98.184815 76.134404
    Oben rechts KachelX + 1 29789 KachelY 21581 -1.71360035 1.32879603 -98.182068 76.134404
    Unten links KachelX 29788 KachelY + 1 21582 -1.71364829 1.32878454 -98.184815 76.133746
    Unten rechts KachelX + 1 29789 KachelY + 1 21582 -1.71360035 1.32878454 -98.182068 76.133746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32879603-1.32878454) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dl = 73.2027899993111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32879603-1.32878454) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dr = 73.2027899993111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71364829--1.71360035) × cos(1.32879603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239645113823096 × 6371000     		do = 73.1937862267554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71364829--1.71360035) × cos(1.32878454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239656268995067 × 6371000     		du = 73.1971933034093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32879603)-sin(1.32878454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239645113823096-0.239656268995067)×R²
    abs(-1.71360035--1.71364829)×1.11551719704228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11551719704228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11551719704228e-05×40589641000000     		ar = 5358.11406624707m²