Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29783 / 41101
↖ ↑ ↗
← S 41.562032°
W 16.397095°		 ← 457.01 m → S 41.562032°
W 16.391602°		 →
↑
456.99 m
↓
↑
456.99 m
↓
S 41.566142°
W 16.397095°		 ← 456.99 m →
208 845 m²		 S 41.566142°
W 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454460144042969 y=0.627159118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454460144042969 × 216)
    floor (0.454460144042969 × 65536)
    floor (29783.5)     		tx = 29783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627159118652344 × 216)
    floor (0.627159118652344 × 65536)
    floor (41101.5)     		ty = 41101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29783 / 41101 ti = "16/29783/41101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29783/41101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29783 ÷ 216
    29783 ÷ 65536     		x = 0.454452514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41101 ÷ 216
    41101 ÷ 65536     		y = 0.627151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454452514648438 × 2 - 1) × π
    -0.091094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28618329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.254302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.798916369067856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28618329} λ = -0.28618329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798916369067856))-π/2
    2×atan(0.449816134790381)-π/2
    2×0.422701013151564-π/2
    0.845402026303127-1.57079632675     		φ = -0.72539430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28618329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.397095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72539430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.562032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29783 KachelY 41101 -0.28618329 -0.72539430 -16.397095 -41.562032
    Oben rechts KachelX + 1 29784 KachelY 41101 -0.28608742 -0.72539430 -16.391602 -41.562032
    Unten links KachelX 29783 KachelY + 1 41102 -0.28618329 -0.72546603 -16.397095 -41.566142
    Unten rechts KachelX + 1 29784 KachelY + 1 41102 -0.28608742 -0.72546603 -16.391602 -41.566142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72539430--0.72546603) × R
    7.17299999999366e-05 × 6371000     		dl = 456.991829999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72539430--0.72546603) × R
    7.17299999999366e-05 × 6371000     		dr = 456.991829999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28618329--0.28608742) × cos(-0.72539430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748237889482365 × 6371000     		do = 457.01455194643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28618329--0.28608742) × cos(-0.72546603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748190299685974 × 6371000     		du = 456.985484680818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72539430)-sin(-0.72546603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748237889482365-0.748190299685974)×R²
    abs(-0.28608742--0.28618329)×4.75897963905236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75897963905236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75897963905236e-05×40589641000000     		ar = 208845.274768375m²