Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29780 / 41095
↖ ↑ ↗
← S 41.537366°
W 16.413574°		 ← 457.19 m → S 41.537366°
W 16.408081°		 →
↑
457.18 m
↓
↑
457.18 m
↓
S 41.541478°
W 16.413574°		 ← 457.16 m →
209 012 m²		 S 41.541478°
W 16.408081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454414367675781 y=0.627067565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454414367675781 × 216)
    floor (0.454414367675781 × 65536)
    floor (29780.5)     		tx = 29780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627067565917969 × 216)
    floor (0.627067565917969 × 65536)
    floor (41095.5)     		ty = 41095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29780 / 41095 ti = "16/29780/41095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29780/41095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29780 ÷ 216
    29780 ÷ 65536     		x = 0.45440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41095 ÷ 216
    41095 ÷ 65536     		y = 0.627059936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.0911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28647091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627059936523438 × 2 - 1) × π
    -0.254119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.798341126272415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28647091} λ = -0.28647091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798341126272415))-π/2
    2×atan(0.450074962718505)-π/2
    2×0.422916263443186-π/2
    0.845832526886371-1.57079632675     		φ = -0.72496380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28647091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72496380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.537366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29780 KachelY 41095 -0.28647091 -0.72496380 -16.413574 -41.537366
    Oben rechts KachelX + 1 29781 KachelY 41095 -0.28637504 -0.72496380 -16.408081 -41.537366
    Unten links KachelX 29780 KachelY + 1 41096 -0.28647091 -0.72503556 -16.413574 -41.541478
    Unten rechts KachelX + 1 29781 KachelY + 1 41096 -0.28637504 -0.72503556 -16.408081 -41.541478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72496380--0.72503556) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dl = 457.182959999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72496380--0.72503556) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dr = 457.182959999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28647091--0.28637504) × cos(-0.72496380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748523426978752 × 6371000     		do = 457.1889547571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28647091--0.28637504) × cos(-0.72503556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748475840396585 × 6371000     		du = 457.159889454696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72496380)-sin(-0.72503556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748523426978752-0.748475840396585)×R²
    abs(-0.28637504--0.28647091)×4.75865821673027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75865821673027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75865821673027e-05×40589641000000     		ar = 209012.355624534m²