Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29779 / 42642
↖ ↑ ↗
← S 47.583937°
W 16.419068°		 ← 412.03 m → S 47.583937°
W 16.413574°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
S 47.587642°
W 16.419068°		 ← 412 m →
169 727 m²		 S 47.587642°
W 16.413574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454399108886719 y=0.650672912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454399108886719 × 216)
    floor (0.454399108886719 × 65536)
    floor (29779.5)     		tx = 29779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650672912597656 × 216)
    floor (0.650672912597656 × 65536)
    floor (42642.5)     		ty = 42642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29779 / 42642 ti = "16/29779/42642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29779/42642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29779 ÷ 216
    29779 ÷ 65536     		x = 0.454391479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42642 ÷ 216
    42642 ÷ 65536     		y = 0.650665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454391479492188 × 2 - 1) × π
    -0.091217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28656679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.30133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946657893696869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28656679} λ = -0.28656679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946657893696869))-π/2
    2×atan(0.388035715360551)-π/2
    2×0.370149980868831-π/2
    0.740299961737661-1.57079632675     		φ = -0.83049637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28656679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.419068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83049637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.583937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29779 KachelY 42642 -0.28656679 -0.83049637 -16.419068 -47.583937
    Oben rechts KachelX + 1 29780 KachelY 42642 -0.28647091 -0.83049637 -16.413574 -47.583937
    Unten links KachelX 29779 KachelY + 1 42643 -0.28656679 -0.83056103 -16.419068 -47.587642
    Unten rechts KachelX + 1 29780 KachelY + 1 42643 -0.28647091 -0.83056103 -16.413574 -47.587642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83049637--0.83056103) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dl = 411.948860000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83049637--0.83056103) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dr = 411.948860000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28656679--0.28647091) × cos(-0.83049637) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674509389952615 × 6371000     		do = 412.02505912642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28656679--0.28647091) × cos(-0.83056103) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674461652245709 × 6371000     		du = 411.995898477505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83049637)-sin(-0.83056103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674509389952615-0.674461652245709)×R²
    abs(-0.28647091--0.28656679)×4.7737706906581e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7737706906581e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7737706906581e-05×40589641000000     		ar = 169727.247109563m²