Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29778 / 15470
↖ ↑ ↗
← N 68.435551°
W 16.424561°		 ← 224.49 m → N 68.435551°
W 16.419068°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
N 68.433532°
W 16.424561°		 ← 224.51 m →
50 404 m²		 N 68.433532°
W 16.419068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454383850097656 y=0.236061096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454383850097656 × 216)
    floor (0.454383850097656 × 65536)
    floor (29778.5)     		tx = 29778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236061096191406 × 216)
    floor (0.236061096191406 × 65536)
    floor (15470.5)     		ty = 15470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29778 / 15470 ti = "16/29778/15470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29778/15470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29778 ÷ 216
    29778 ÷ 65536     		x = 0.454376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15470 ÷ 216
    15470 ÷ 65536     		y = 0.236053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.09124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28666266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236053466796875 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65842497925546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28666266} λ = -0.28666266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65842497925546))-π/2
    2×atan(5.25103384070228)-π/2
    2×1.38261101034897-π/2
    2.76522202069795-1.57079632675     		φ = 1.19442569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28666266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.424561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19442569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.435551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29778 KachelY 15470 -0.28666266 1.19442569 -16.424561 68.435551
    Oben rechts KachelX + 1 29779 KachelY 15470 -0.28656679 1.19442569 -16.419068 68.435551
    Unten links KachelX 29778 KachelY + 1 15471 -0.28666266 1.19439045 -16.424561 68.433532
    Unten rechts KachelX + 1 29779 KachelY + 1 15471 -0.28656679 1.19439045 -16.419068 68.433532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19442569-1.19439045) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dl = 224.514040000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19442569-1.19439045) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dr = 224.514040000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28666266--0.28656679) × cos(1.19442569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		do = 224.493562251447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28666266--0.28656679) × cos(1.19439045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367580345761379 × 6371000     		du = 224.513579683417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19442569)-sin(1.19439045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367547572623224-0.367580345761379)×R²
    abs(-0.28656679--0.28666266)×3.27731381551954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27731381551954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27731381551954e-05×40589641000000     		ar = 50404.2037177845m²