Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29777 / 42541
↖ ↑ ↗
← S 47.208374°
W 16.430054°		 ← 414.93 m → S 47.208374°
W 16.424561°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
S 47.212106°
W 16.430054°		 ← 414.90 m →
172 166 m²		 S 47.212106°
W 16.424561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454368591308594 y=0.649131774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454368591308594 × 216)
    floor (0.454368591308594 × 65536)
    floor (29777.5)     		tx = 29777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649131774902344 × 216)
    floor (0.649131774902344 × 65536)
    floor (42541.5)     		ty = 42541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29777 / 42541 ti = "16/29777/42541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29777/42541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29777 ÷ 216
    29777 ÷ 65536     		x = 0.454360961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42541 ÷ 216
    42541 ÷ 65536     		y = 0.649124145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454360961914062 × 2 - 1) × π
    -0.091278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28675853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649124145507812 × 2 - 1) × π
    -0.298248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.936974639973618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28675853} λ = -0.28675853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936974639973618))-π/2
    2×atan(0.391811414670821)-π/2
    2×0.373427381137257-π/2
    0.746854762274514-1.57079632675     		φ = -0.82394156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28675853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.430054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82394156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.208374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29777 KachelY 42541 -0.28675853 -0.82394156 -16.430054 -47.208374
    Oben rechts KachelX + 1 29778 KachelY 42541 -0.28666266 -0.82394156 -16.424561 -47.208374
    Unten links KachelX 29777 KachelY + 1 42542 -0.28675853 -0.82400669 -16.430054 -47.212106
    Unten rechts KachelX + 1 29778 KachelY + 1 42542 -0.28666266 -0.82400669 -16.424561 -47.212106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82394156--0.82400669) × R
    6.51300000000798e-05 × 6371000     		dl = 414.943230000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82394156--0.82400669) × R
    6.51300000000798e-05 × 6371000     		dr = 414.943230000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28675853--0.28666266) × cos(-0.82394156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679334060141282 × 6371000     		do = 414.928935678731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28675853--0.28666266) × cos(-0.82400669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679286264407345 × 6371000     		du = 414.899742628984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82394156)-sin(-0.82400669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679334060141282-0.679286264407345)×R²
    abs(-0.28666266--0.28675853)×4.77957339370949e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77957339370949e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77957339370949e-05×40589641000000     		ar = 172165.896122842m²