Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29776 / 42542
↖ ↑ ↗
← S 47.212106°
W 16.435547°		 ← 414.94 m → S 47.212106°
W 16.430054°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
S 47.215837°
W 16.435547°		 ← 414.91 m →
172 172 m²		 S 47.215837°
W 16.430054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454353332519531 y=0.649147033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454353332519531 × 216)
    floor (0.454353332519531 × 65536)
    floor (29776.5)     		tx = 29776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649147033691406 × 216)
    floor (0.649147033691406 × 65536)
    floor (42542.5)     		ty = 42542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29776 / 42542 ti = "16/29776/42542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29776/42542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29776 ÷ 216
    29776 ÷ 65536     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42542 ÷ 216
    42542 ÷ 65536     		y = 0.649139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.29827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.937070513772858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937070513772858))-π/2
    2×atan(0.391773852022577)-π/2
    2×0.373394817114324-π/2
    0.746789634228648-1.57079632675     		φ = -0.82400669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82400669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.212106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29776 KachelY 42542 -0.28685441 -0.82400669 -16.435547 -47.212106
    Oben rechts KachelX + 1 29777 KachelY 42542 -0.28675853 -0.82400669 -16.430054 -47.212106
    Unten links KachelX 29776 KachelY + 1 42543 -0.28685441 -0.82407182 -16.435547 -47.215837
    Unten rechts KachelX + 1 29777 KachelY + 1 42543 -0.28675853 -0.82407182 -16.430054 -47.215837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82400669--0.82407182) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dl = 414.943229999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82400669--0.82407182) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dr = 414.943229999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28675853) × cos(-0.82400669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679286264407345 × 6371000     		do = 414.943019956866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28675853) × cos(-0.82407182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		du = 414.913822101899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82400669)-sin(-0.82407182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679286264407345-0.679238465791932)×R²
    abs(-0.28675853--0.28685441)×4.77986154130416e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77986154130416e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77986154130416e-05×40589641000000     		ar = 172171.739301494m²