Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29776 / 15473
↖ ↑ ↗
← N 68.429494°
W 16.435547°		 ← 224.58 m → N 68.429494°
W 16.430054°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
N 68.427474°
W 16.435547°		 ← 224.60 m →
50 437 m²		 N 68.427474°
W 16.430054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454353332519531 y=0.236106872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454353332519531 × 216)
    floor (0.454353332519531 × 65536)
    floor (29776.5)     		tx = 29776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236106872558594 × 216)
    floor (0.236106872558594 × 65536)
    floor (15473.5)     		ty = 15473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29776 / 15473 ti = "16/29776/15473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29776/15473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29776 ÷ 216
    29776 ÷ 65536     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15473 ÷ 216
    15473 ÷ 65536     		y = 0.236099243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236099243164062 × 2 - 1) × π
    0.527801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65813735785774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65813735785774))-π/2
    2×atan(5.24952374818741)-π/2
    2×1.38255814600631-π/2
    2.76511629201261-1.57079632675     		φ = 1.19431997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19431997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.429494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29776 KachelY 15473 -0.28685441 1.19431997 -16.435547 68.429494
    Oben rechts KachelX + 1 29777 KachelY 15473 -0.28675853 1.19431997 -16.430054 68.429494
    Unten links KachelX 29776 KachelY + 1 15474 -0.28685441 1.19428472 -16.435547 68.427474
    Unten rechts KachelX + 1 29777 KachelY + 1 15474 -0.28675853 1.19428472 -16.430054 68.427474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19431997-1.19428472) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19431997-1.19428472) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28675853) × cos(1.19431997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.367645890668201 × 6371000     		do = 224.577036430572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28675853) × cos(1.19428472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.367678671736316 × 6371000     		du = 224.597060794546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19431997)-sin(1.19428472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367645890668201-0.367678671736316)×R²
    abs(-0.28675853--0.28685441)×3.27810681147178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.27810681147178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.27810681147178e-05×40589641000000     		ar = 50437.2540618385m²