Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29775 / 42543
↖ ↑ ↗
← S 47.215837°
W 16.441040°		 ← 414.87 m → S 47.215837°
W 16.435547°		 →
↑
414.82 m
↓
↑
414.82 m
↓
S 47.219568°
W 16.441040°		 ← 414.84 m →
172 089 m²		 S 47.219568°
W 16.435547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454338073730469 y=0.649162292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454338073730469 × 216)
    floor (0.454338073730469 × 65536)
    floor (29775.5)     		tx = 29775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649162292480469 × 216)
    floor (0.649162292480469 × 65536)
    floor (42543.5)     		ty = 42543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29775 / 42543 ti = "16/29775/42543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29775/42543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29775 ÷ 216
    29775 ÷ 65536     		x = 0.454330444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42543 ÷ 216
    42543 ÷ 65536     		y = 0.649154663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454330444335938 × 2 - 1) × π
    -0.091339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28695028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649154663085938 × 2 - 1) × π
    -0.298309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.937166387572098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28695028} λ = -0.28695028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937166387572098))-π/2
    2×atan(0.391736292975433)-π/2
    2×0.37336225538249-π/2
    0.746724510764979-1.57079632675     		φ = -0.82407182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28695028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.441040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82407182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.215837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29775 KachelY 42543 -0.28695028 -0.82407182 -16.441040 -47.215837
    Oben rechts KachelX + 1 29776 KachelY 42543 -0.28685441 -0.82407182 -16.435547 -47.215837
    Unten links KachelX 29775 KachelY + 1 42544 -0.28695028 -0.82413693 -16.441040 -47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 29776 KachelY + 1 42544 -0.28685441 -0.82413693 -16.435547 -47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82407182--0.82413693) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dl = 414.815809999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82407182--0.82413693) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dr = 414.815809999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28695028--0.28685441) × cos(-0.82407182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		do = 414.870547819267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28695028--0.28685441) × cos(-0.82413693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 414.841360215602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82407182)-sin(-0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679238465791932-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.28685441--0.28695028)×4.77868174485474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77868174485474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77868174485474e-05×40589641000000     		ar = 172088.808660165m²