Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29775 / 21424
↖ ↑ ↗
← N 76.237366°
W 98.220520°		 ← 72.66 m → N 76.237366°
W 98.217773°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.236712°
W 98.220520°		 ← 72.66 m →
5 282 m²		 N 76.236712°
W 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227169036865234 y=0.163455963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227169036865234 × 217)
    floor (0.227169036865234 × 131072)
    floor (29775.5)     		tx = 29775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163455963134766 × 217)
    floor (0.163455963134766 × 131072)
    floor (21424.5)     		ty = 21424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29775 / 21424 ti = "17/29775/21424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29775/21424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29775 ÷ 217
    29775 ÷ 131072     		x = 0.227165222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21424 ÷ 217
    21424 ÷ 131072     		y = 0.1634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227165222167969 × 2 - 1) × π
    -0.545669555664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.71427147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1634521484375 × 2 - 1) × π
    0.673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11459251603992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71427147} λ = -1.71427147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11459251603992))-π/2
    2×atan(8.28620858100491)-π/2
    2×1.45069468734435-π/2
    2.9013893746887-1.57079632675     		φ = 1.33059305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71427147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.220520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33059305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.237366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29775 KachelY 21424 -1.71427147 1.33059305 -98.220520 76.237366
    Oben rechts KachelX + 1 29776 KachelY 21424 -1.71422353 1.33059305 -98.217773 76.237366
    Unten links KachelX 29775 KachelY + 1 21425 -1.71427147 1.33058164 -98.220520 76.236712
    Unten rechts KachelX + 1 29776 KachelY + 1 21425 -1.71422353 1.33058164 -98.217773 76.236712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33059305-1.33058164) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dl = 72.693110000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33059305-1.33058164) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dr = 72.693110000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71427147--1.71422353) × cos(1.33059305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237900071984955 × 6371000     		do = 72.6608055320104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71427147--1.71422353) × cos(1.33058164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237911154384208 × 6371000     		du = 72.6641903820034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33059305)-sin(1.33058164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237900071984955-0.237911154384208)×R²
    abs(-1.71422353--1.71427147)×1.10823992534315e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10823992534315e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10823992534315e-05×40589641000000     		ar = 5282.06295711167m²