Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29773 / 42413
↖ ↑ ↗
← S 46.728566°
W 16.452026°		 ← 418.71 m → S 46.728566°
W 16.446533°		 →
↑
418.64 m
↓
↑
418.64 m
↓
S 46.732331°
W 16.452026°		 ← 418.68 m →
175 283 m²		 S 46.732331°
W 16.446533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454307556152344 y=0.647178649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454307556152344 × 216)
    floor (0.454307556152344 × 65536)
    floor (29773.5)     		tx = 29773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647178649902344 × 216)
    floor (0.647178649902344 × 65536)
    floor (42413.5)     		ty = 42413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29773 / 42413 ti = "16/29773/42413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29773/42413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29773 ÷ 216
    29773 ÷ 65536     		x = 0.454299926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42413 ÷ 216
    42413 ÷ 65536     		y = 0.647171020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454299926757812 × 2 - 1) × π
    -0.091400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28714203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647171020507812 × 2 - 1) × π
    -0.294342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.924702793670883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28714203} λ = -0.28714203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924702793670883))-π/2
    2×atan(0.396649288237299)-π/2
    2×0.377614499214269-π/2
    0.755228998428537-1.57079632675     		φ = -0.81556733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28714203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.452026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81556733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.728566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29773 KachelY 42413 -0.28714203 -0.81556733 -16.452026 -46.728566
    Oben rechts KachelX + 1 29774 KachelY 42413 -0.28704615 -0.81556733 -16.446533 -46.728566
    Unten links KachelX 29773 KachelY + 1 42414 -0.28714203 -0.81563304 -16.452026 -46.732331
    Unten rechts KachelX + 1 29774 KachelY + 1 42414 -0.28704615 -0.81563304 -16.446533 -46.732331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81556733--0.81563304) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dl = 418.638409999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81556733--0.81563304) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dr = 418.638409999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28714203--0.28704615) × cos(-0.81556733) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685455422537092 × 6371000     		do = 418.711459330776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28714203--0.28704615) × cos(-0.81563304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		du = 418.682232598152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81556733)-sin(-0.81563304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685455422537092-0.685407576647246)×R²
    abs(-0.28704615--0.28714203)×4.78458898459655e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78458898459655e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78458898459655e-05×40589641000000     		ar = 175282.581929572m²