Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29773 / 41066
↖ ↑ ↗
← S 41.418015°
W 16.452026°		 ← 458.08 m → S 41.418015°
W 16.446533°		 →
↑
458.07 m
↓
↑
458.07 m
↓
S 41.422134°
W 16.452026°		 ← 458.05 m →
209 828 m²		 S 41.422134°
W 16.446533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454307556152344 y=0.626625061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454307556152344 × 216)
    floor (0.454307556152344 × 65536)
    floor (29773.5)     		tx = 29773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626625061035156 × 216)
    floor (0.626625061035156 × 65536)
    floor (41066.5)     		ty = 41066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29773 / 41066 ti = "16/29773/41066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29773/41066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29773 ÷ 216
    29773 ÷ 65536     		x = 0.454299926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41066 ÷ 216
    41066 ÷ 65536     		y = 0.626617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454299926757812 × 2 - 1) × π
    -0.091400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28714203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.25323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795560786094452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28714203} λ = -0.28714203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795560786094452))-π/2
    2×atan(0.45132806543913)-π/2
    2×0.423957797395915-π/2
    0.84791559479183-1.57079632675     		φ = -0.72288073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28714203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.452026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72288073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.418015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29773 KachelY 41066 -0.28714203 -0.72288073 -16.452026 -41.418015
    Oben rechts KachelX + 1 29774 KachelY 41066 -0.28704615 -0.72288073 -16.446533 -41.418015
    Unten links KachelX 29773 KachelY + 1 41067 -0.28714203 -0.72295263 -16.452026 -41.422134
    Unten rechts KachelX + 1 29774 KachelY + 1 41067 -0.28704615 -0.72295263 -16.446533 -41.422134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72288073--0.72295263) × R
    7.19000000000136e-05 × 6371000     		dl = 458.074900000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72288073--0.72295263) × R
    7.19000000000136e-05 × 6371000     		dr = 458.074900000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28714203--0.28704615) × cos(-0.72288073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.749903103094659 × 6371000     		do = 458.07942038193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28714203--0.28704615) × cos(-0.72295263) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.749855535877989 × 6371000     		du = 458.050363877227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72288073)-sin(-0.72295263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749903103094659-0.749855535877989)×R²
    abs(-0.28704615--0.28714203)×4.756721667043e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.756721667043e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.756721667043e-05×40589641000000     		ar = 209828.029746465m²