Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29772 / 42414
↖ ↑ ↗
← S 46.732331°
W 16.457519°		 ← 418.64 m → S 46.732331°
W 16.452026°		 →
↑
418.64 m
↓
↑
418.64 m
↓
S 46.736096°
W 16.457519°		 ← 418.61 m →
175 252 m²		 S 46.736096°
W 16.452026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454292297363281 y=0.647193908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454292297363281 × 216)
    floor (0.454292297363281 × 65536)
    floor (29772.5)     		tx = 29772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647193908691406 × 216)
    floor (0.647193908691406 × 65536)
    floor (42414.5)     		ty = 42414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29772 / 42414 ti = "16/29772/42414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29772/42414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29772 ÷ 216
    29772 ÷ 65536     		x = 0.45428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42414 ÷ 216
    42414 ÷ 65536     		y = 0.647186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.0914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28723790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.29437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.924798667470123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28723790} λ = -0.28723790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924798667470123))-π/2
    2×atan(0.396611261785969)-π/2
    2×0.377581641753307-π/2
    0.755163283506613-1.57079632675     		φ = -0.81563304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28723790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.457519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81563304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.732331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29772 KachelY 42414 -0.28723790 -0.81563304 -16.457519 -46.732331
    Oben rechts KachelX + 1 29773 KachelY 42414 -0.28714203 -0.81563304 -16.452026 -46.732331
    Unten links KachelX 29772 KachelY + 1 42415 -0.28723790 -0.81569875 -16.457519 -46.736096
    Unten rechts KachelX + 1 29773 KachelY + 1 42415 -0.28714203 -0.81569875 -16.452026 -46.736096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81563304--0.81569875) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dl = 418.638409999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81563304--0.81569875) × R
    6.57099999999966e-05 × 6371000     		dr = 418.638409999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28723790--0.28714203) × cos(-0.81563304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		do = 418.638565281466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28723790--0.28714203) × cos(-0.81569875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685359727797945 × 6371000     		du = 418.609339789504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81563304)-sin(-0.81569875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685407576647246-0.685359727797945)×R²
    abs(-0.28714203--0.28723790)×4.7848849301646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7848849301646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7848849301646e-05×40589641000000     		ar = 175252.065940235m²