Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2977 / 3744
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W114.587402°		 ← 859.18 m → N 69.411243°
W114.565430°		 →
↑
859.38 m
↓
↑
859.38 m
↓
N 69.403514°
W114.587402°		 ← 859.48 m →
738 495 m²		 N 69.403514°
W114.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181732177734375 y=0.228546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181732177734375 × 214)
    floor (0.181732177734375 × 16384)
    floor (2977.5)     		tx = 2977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228546142578125 × 214)
    floor (0.228546142578125 × 16384)
    floor (3744.5)     		ty = 3744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2977 / 3744 ti = "14/2977/3744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2977/3744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2977 ÷ 214
    2977 ÷ 16384     		x = 0.18170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3744 ÷ 214
    3744 ÷ 16384     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.6365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.99992745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.99992745} λ = -1.99992745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.99992745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.587402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2977 KachelY 3744 -1.99992745 1.21145472 -114.587402 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 2978 KachelY 3744 -1.99954396 1.21145472 -114.565430 69.411243
    Unten links KachelX 2977 KachelY + 1 3745 -1.99992745 1.21131983 -114.587402 69.403514
    Unten rechts KachelX + 1 2978 KachelY + 1 3745 -1.99954396 1.21131983 -114.565430 69.403514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.21131983) × R
    0.000134889999999999 × 6371000     		dl = 859.384189999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.21131983) × R
    0.000134889999999999 × 6371000     		dr = 859.384189999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.99992745--1.99954396) × cos(1.21145472) × R
    0.000383489999999931 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 859.175950535123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.99992745--1.99954396) × cos(1.21131983) × R
    0.000383489999999931 × 0.351784240039264 × 6371000     		du = 859.484458152685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.21131983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.351784240039264)×R²
    abs(-1.99954396--1.99992745)×0.000126271181242421×R²
    0.000383489999999931×0.000126271181242421×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126271181242421×40589641000000     		ar = 738494.792721953m²