Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29768 / 29880
↖ ↑ ↗
← N 69.480672°
W 98.239746°		 ← 107.06 m → N 69.480672°
W 98.237000°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 69.479709°
W 98.239746°		 ← 107.06 m →
11 459 m²		 N 69.479709°
W 98.237000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227115631103516 y=0.227970123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227115631103516 × 217)
    floor (0.227115631103516 × 131072)
    floor (29768.5)     		tx = 29768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227970123291016 × 217)
    floor (0.227970123291016 × 131072)
    floor (29880.5)     		ty = 29880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29768 / 29880 ti = "17/29768/29880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29768/29880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29768 ÷ 217
    29768 ÷ 131072     		x = 0.22711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29880 ÷ 217
    29880 ÷ 131072     		y = 0.22796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22796630859375 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70923809285272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71460703} λ = -1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70923809285272))-π/2
    2×atan(5.52475052673767)-π/2
    2×1.39173140855948-π/2
    2.78346281711896-1.57079632675     		φ = 1.21266649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21266649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.480672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29768 KachelY 29880 -1.71460703 1.21266649 -98.239746 69.480672
    Oben rechts KachelX + 1 29769 KachelY 29880 -1.71455909 1.21266649 -98.237000 69.480672
    Unten links KachelX 29768 KachelY + 1 29881 -1.71460703 1.21264969 -98.239746 69.479709
    Unten rechts KachelX + 1 29769 KachelY + 1 29881 -1.71455909 1.21264969 -98.237000 69.479709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21266649-1.21264969) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21266649-1.21264969) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71460703--1.71455909) × cos(1.21266649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350523338450724 × 6371000     		do = 107.058850033513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71460703--1.71455909) × cos(1.21264969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350539072508407 × 6371000     		du = 107.063655619724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21266649)-sin(1.21264969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350523338450724-0.350539072508407)×R²
    abs(-1.71455909--1.71460703)×1.57340576821818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57340576821818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57340576821818e-05×40589641000000     		ar = 11459.065661897m²