Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29768 / 21942
↖ ↑ ↗
← N 75.894786°
W 98.239746°		 ← 74.43 m → N 75.894786°
W 98.237000°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.894116°
W 98.239746°		 ← 74.44 m →
5 544 m²		 N 75.894116°
W 98.237000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227115631103516 y=0.167407989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227115631103516 × 217)
    floor (0.227115631103516 × 131072)
    floor (29768.5)     		tx = 29768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167407989501953 × 217)
    floor (0.167407989501953 × 131072)
    floor (21942.5)     		ty = 21942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29768 / 21942 ti = "17/29768/21942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29768/21942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29768 ÷ 217
    29768 ÷ 131072     		x = 0.22711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21942 ÷ 217
    21942 ÷ 131072     		y = 0.167404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167404174804688 × 2 - 1) × π
    0.665191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08976120203673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71460703} λ = -1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08976120203673))-π/2
    2×atan(8.08298473353124)-π/2
    2×1.4477051121534-π/2
    2.89541022430681-1.57079632675     		φ = 1.32461390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32461390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.894786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29768 KachelY 21942 -1.71460703 1.32461390 -98.239746 75.894786
    Oben rechts KachelX + 1 29769 KachelY 21942 -1.71455909 1.32461390 -98.237000 75.894786
    Unten links KachelX 29768 KachelY + 1 21943 -1.71460703 1.32460221 -98.239746 75.894116
    Unten rechts KachelX + 1 29769 KachelY + 1 21943 -1.71455909 1.32460221 -98.237000 75.894116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32461390-1.32460221) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dl = 74.476990000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32461390-1.32460221) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dr = 74.476990000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71460703--1.71455909) × cos(1.32461390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243703271326049 × 6371000     		do = 74.4332519851305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71460703--1.71455909) × cos(1.32460221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243714608854047 × 6371000     		du = 74.4367147580091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32461390)-sin(1.32460221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243703271326049-0.243714608854047)×R²
    abs(-1.71455909--1.71460703)×1.13375279980621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13375279980621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13375279980621e-05×40589641000000     		ar = 5543.69351227242m²