Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29766 / 40886
↖ ↑ ↗
← S 40.672306°
W 16.490479°		 ← 463.30 m → S 40.672306°
W 16.484985°		 →
↑
463.30 m
↓
↑
463.30 m
↓
S 40.676472°
W 16.490479°		 ← 463.27 m →
214 640 m²		 S 40.676472°
W 16.484985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454200744628906 y=0.623878479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454200744628906 × 216)
    floor (0.454200744628906 × 65536)
    floor (29766.5)     		tx = 29766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623878479003906 × 216)
    floor (0.623878479003906 × 65536)
    floor (40886.5)     		ty = 40886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29766 / 40886 ti = "16/29766/40886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29766/40886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29766 ÷ 216
    29766 ÷ 65536     		x = 0.454193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40886 ÷ 216
    40886 ÷ 65536     		y = 0.623870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.09161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28781315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.24774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.778303502231232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28781315} λ = -0.28781315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778303502231232))-π/2
    2×atan(0.459184356124037)-π/2
    2×0.430465336615678-π/2
    0.860930673231356-1.57079632675     		φ = -0.70986565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28781315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.490479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70986565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.672306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29766 KachelY 40886 -0.28781315 -0.70986565 -16.490479 -40.672306
    Oben rechts KachelX + 1 29767 KachelY 40886 -0.28771727 -0.70986565 -16.484985 -40.672306
    Unten links KachelX 29766 KachelY + 1 40887 -0.28781315 -0.70993837 -16.490479 -40.676472
    Unten rechts KachelX + 1 29767 KachelY + 1 40887 -0.28771727 -0.70993837 -16.484985 -40.676472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70986565--0.70993837) × R
    7.27200000000261e-05 × 6371000     		dl = 463.299120000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70986565--0.70993837) × R
    7.27200000000261e-05 × 6371000     		dr = 463.299120000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28781315--0.28771727) × cos(-0.70986565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.758449443013195 × 6371000     		do = 463.29996476975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28781315--0.28771727) × cos(-0.70993837) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.758402047065564 × 6371000     		du = 463.271012884994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70986565)-sin(-0.70993837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758449443013195-0.758402047065564)×R²
    abs(-0.28771727--0.28781315)×4.73959476308128e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73959476308128e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73959476308128e-05×40589641000000     		ar = 214639.759377286m²