Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29763 / 21947
↖ ↑ ↗
← N 75.891439°
W 98.253479°		 ← 74.45 m → N 75.891439°
W 98.250732°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.890769°
W 98.253479°		 ← 74.45 m →
5 545 m²		 N 75.890769°
W 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227077484130859 y=0.167446136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227077484130859 × 217)
    floor (0.227077484130859 × 131072)
    floor (29763.5)     		tx = 29763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167446136474609 × 217)
    floor (0.167446136474609 × 131072)
    floor (21947.5)     		ty = 21947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29763 / 21947 ti = "17/29763/21947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29763/21947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29763 ÷ 217
    29763 ÷ 131072     		x = 0.227073669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21947 ÷ 217
    21947 ÷ 131072     		y = 0.167442321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227073669433594 × 2 - 1) × π
    -0.545852661132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.71484671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167442321777344 × 2 - 1) × π
    0.665115356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.08952151753863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71484671} λ = -1.71484671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08952151753863))-π/2
    2×atan(8.081047599552)-π/2
    2×1.44767590281015-π/2
    2.89535180562031-1.57079632675     		φ = 1.32455548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71484671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.253479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32455548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.891439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29763 KachelY 21947 -1.71484671 1.32455548 -98.253479 75.891439
    Oben rechts KachelX + 1 29764 KachelY 21947 -1.71479877 1.32455548 -98.250732 75.891439
    Unten links KachelX 29763 KachelY + 1 21948 -1.71484671 1.32454379 -98.253479 75.890769
    Unten rechts KachelX + 1 29764 KachelY + 1 21948 -1.71479877 1.32454379 -98.250732 75.890769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32455548-1.32454379) × R
    1.16899999997866e-05 × 6371000     		dl = 74.4769899986404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32455548-1.32454379) × R
    1.16899999997866e-05 × 6371000     		dr = 74.4769899986404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71484671--1.71479877) × cos(1.32455548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243759929537905 × 6371000     		do = 74.4505568614137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71484671--1.71479877) × cos(1.32454379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243771266899447 × 6371000     		du = 74.4540195834524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32455548)-sin(1.32454379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243759929537905-0.243771266899447)×R²
    abs(-1.71479877--1.71484671)×1.13373615424073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13373615424073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13373615424073e-05×40589641000000     		ar = 5544.98232547264m²