Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29762 / 42655
↖ ↑ ↗
← S 47.632082°
W 16.512451°		 ← 411.60 m → S 47.632082°
W 16.506958°		 →
↑
411.63 m
↓
↑
411.63 m
↓
S 47.635784°
W 16.512451°		 ← 411.57 m →
169 422 m²		 S 47.635784°
W 16.506958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454139709472656 y=0.650871276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454139709472656 × 216)
    floor (0.454139709472656 × 65536)
    floor (29762.5)     		tx = 29762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650871276855469 × 216)
    floor (0.650871276855469 × 65536)
    floor (42655.5)     		ty = 42655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29762 / 42655 ti = "16/29762/42655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29762/42655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29762 ÷ 216
    29762 ÷ 65536     		x = 0.454132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42655 ÷ 216
    42655 ÷ 65536     		y = 0.650863647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.09173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28819664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650863647460938 × 2 - 1) × π
    -0.301727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94790425308699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28819664} λ = -0.28819664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94790425308699))-π/2
    2×atan(0.38755238466745)-π/2
    2×0.369729833687915-π/2
    0.739459667375831-1.57079632675     		φ = -0.83133666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28819664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83133666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.632082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29762 KachelY 42655 -0.28819664 -0.83133666 -16.512451 -47.632082
    Oben rechts KachelX + 1 29763 KachelY 42655 -0.28810077 -0.83133666 -16.506958 -47.632082
    Unten links KachelX 29762 KachelY + 1 42656 -0.28819664 -0.83140127 -16.512451 -47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 29763 KachelY + 1 42656 -0.28810077 -0.83140127 -16.506958 -47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83133666--0.83140127) × R
    6.46100000000205e-05 × 6371000     		dl = 411.630310000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83133666--0.83140127) × R
    6.46100000000205e-05 × 6371000     		dr = 411.630310000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(-0.83133666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673888794131817 × 6371000     		do = 411.603033795753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(-0.83140127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 411.573876379842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83133666)-sin(-0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673888794131817-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.28810077--0.28819664)×4.77373931553338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77373931553338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77373931553338e-05×40589641000000     		ar = 169422.283419253m²