Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29762 / 40902
↖ ↑ ↗
← S 40.738933°
W 16.512451°		 ← 462.79 m → S 40.738933°
W 16.506958°		 →
↑
462.79 m
↓
↑
462.79 m
↓
S 40.743095°
W 16.512451°		 ← 462.76 m →
214 167 m²		 S 40.743095°
W 16.506958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454139709472656 y=0.624122619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454139709472656 × 216)
    floor (0.454139709472656 × 65536)
    floor (29762.5)     		tx = 29762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624122619628906 × 216)
    floor (0.624122619628906 × 65536)
    floor (40902.5)     		ty = 40902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29762 / 40902 ti = "16/29762/40902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29762/40902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29762 ÷ 216
    29762 ÷ 65536     		x = 0.454132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40902 ÷ 216
    40902 ÷ 65536     		y = 0.624114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.09173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28819664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.24822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779837483019074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28819664} λ = -0.28819664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779837483019074))-π/2
    2×atan(0.458480516120204)-π/2
    2×0.429883904001898-π/2
    0.859767808003796-1.57079632675     		φ = -0.71102852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28819664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71102852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.738933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29762 KachelY 40902 -0.28819664 -0.71102852 -16.512451 -40.738933
    Oben rechts KachelX + 1 29763 KachelY 40902 -0.28810077 -0.71102852 -16.506958 -40.738933
    Unten links KachelX 29762 KachelY + 1 40903 -0.28819664 -0.71110116 -16.512451 -40.743095
    Unten rechts KachelX + 1 29763 KachelY + 1 40903 -0.28810077 -0.71110116 -16.506958 -40.743095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71102852--0.71110116) × R
    7.26399999999572e-05 × 6371000     		dl = 462.789439999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71102852--0.71110116) × R
    7.26399999999572e-05 × 6371000     		dr = 462.789439999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(-0.71102852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757691050920733 × 6371000     		do = 462.788427340821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(-0.71110116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757643643083198 × 6371000     		du = 462.759471213452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71102852)-sin(-0.71110116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757691050920733-0.757643643083198)×R²
    abs(-0.28810077--0.28819664)×4.74078375353182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74078375353182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74078375353182e-05×40589641000000     		ar = 214166.896926719m²