Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29762 / 19646
↖ ↑ ↗
← N 58.269066°
W 16.512451°		 ← 321.23 m → N 58.269066°
W 16.506958°		 →
↑
321.29 m
↓
↑
321.29 m
↓
N 58.266176°
W 16.512451°		 ← 321.26 m →
103 213 m²		 N 58.266176°
W 16.506958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454139709472656 y=0.299781799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454139709472656 × 216)
    floor (0.454139709472656 × 65536)
    floor (29762.5)     		tx = 29762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299781799316406 × 216)
    floor (0.299781799316406 × 65536)
    floor (19646.5)     		ty = 19646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29762 / 19646 ti = "16/29762/19646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29762/19646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29762 ÷ 216
    29762 ÷ 65536     		x = 0.454132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19646 ÷ 216
    19646 ÷ 65536     		y = 0.299774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.09173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28819664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299774169921875 × 2 - 1) × π
    0.40045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25805599362875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28819664} λ = -0.28819664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25805599362875))-π/2
    2×atan(3.5185747027853)-π/2
    2×1.29389168654679-π/2
    2.58778337309357-1.57079632675     		φ = 1.01698705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28819664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01698705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.269066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29762 KachelY 19646 -0.28819664 1.01698705 -16.512451 58.269066
    Oben rechts KachelX + 1 29763 KachelY 19646 -0.28810077 1.01698705 -16.506958 58.269066
    Unten links KachelX 29762 KachelY + 1 19647 -0.28819664 1.01693662 -16.512451 58.266176
    Unten rechts KachelX + 1 29763 KachelY + 1 19647 -0.28810077 1.01693662 -16.506958 58.266176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01698705-1.01693662) × R
    5.04299999999347e-05 × 6371000     		dl = 321.289529999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01698705-1.01693662) × R
    5.04299999999347e-05 × 6371000     		dr = 321.289529999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(1.01698705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525930930710391 × 6371000     		do = 321.232180342617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28819664--0.28810077) × cos(1.01693662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525973822132395 × 6371000     		du = 321.258377898615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01698705)-sin(1.01693662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525930930710391-0.525973822132395)×R²
    abs(-0.28810077--0.28819664)×4.28914220045318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28914220045318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28914220045318e-05×40589641000000     		ar = 103212.744764826m²