Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29761 / 42652
↖ ↑ ↗
← S 47.620975°
W 16.517944°		 ← 411.69 m → S 47.620975°
W 16.512451°		 →
↑
411.69 m
↓
↑
411.69 m
↓
S 47.624678°
W 16.517944°		 ← 411.66 m →
169 485 m²		 S 47.624678°
W 16.512451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454124450683594 y=0.650825500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454124450683594 × 216)
    floor (0.454124450683594 × 65536)
    floor (29761.5)     		tx = 29761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650825500488281 × 216)
    floor (0.650825500488281 × 65536)
    floor (42652.5)     		ty = 42652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29761 / 42652 ti = "16/29761/42652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29761/42652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29761 ÷ 216
    29761 ÷ 65536     		x = 0.454116821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42652 ÷ 216
    42652 ÷ 65536     		y = 0.65081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454116821289062 × 2 - 1) × π
    -0.091766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28829251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.3016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94761663168927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28829251} λ = -0.28829251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94761663168927))-π/2
    2×atan(0.387663869057898)-π/2
    2×0.369826756403682-π/2
    0.739653512807363-1.57079632675     		φ = -0.83114281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28829251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.517944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83114281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.620975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29761 KachelY 42652 -0.28829251 -0.83114281 -16.517944 -47.620975
    Oben rechts KachelX + 1 29762 KachelY 42652 -0.28819664 -0.83114281 -16.512451 -47.620975
    Unten links KachelX 29761 KachelY + 1 42653 -0.28829251 -0.83120743 -16.517944 -47.624678
    Unten rechts KachelX + 1 29762 KachelY + 1 42653 -0.28819664 -0.83120743 -16.512451 -47.624678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83114281--0.83120743) × R
    6.46199999999597e-05 × 6371000     		dl = 411.694019999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83114281--0.83120743) × R
    6.46199999999597e-05 × 6371000     		dr = 411.694019999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28829251--0.28819664) × cos(-0.83114281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67403200420583 × 6371000     		do = 411.690504757501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28829251--0.28819664) × cos(-0.83120743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673984267866036 × 6371000     		du = 411.66134798497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83114281)-sin(-0.83120743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67403200420583-0.673984267866036)×R²
    abs(-0.28819664--0.28829251)×4.77363397940467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77363397940467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77363397940467e-05×40589641000000     		ar = 169484.51712381m²