Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29761 / 42463
↖ ↑ ↗
← S 46.916504°
W 16.517944°		 ← 417.21 m → S 46.916504°
W 16.512451°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
S 46.920255°
W 16.517944°		 ← 417.18 m →
174 041 m²		 S 46.920255°
W 16.512451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454124450683594 y=0.647941589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454124450683594 × 216)
    floor (0.454124450683594 × 65536)
    floor (29761.5)     		tx = 29761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647941589355469 × 216)
    floor (0.647941589355469 × 65536)
    floor (42463.5)     		ty = 42463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29761 / 42463 ti = "16/29761/42463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29761/42463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29761 ÷ 216
    29761 ÷ 65536     		x = 0.454116821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42463 ÷ 216
    42463 ÷ 65536     		y = 0.647933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454116821289062 × 2 - 1) × π
    -0.091766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28829251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647933959960938 × 2 - 1) × π
    -0.295867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.929496483632889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28829251} λ = -0.28829251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929496483632889))-π/2
    2×atan(0.394752424646224)-π/2
    2×0.375974435638472-π/2
    0.751948871276944-1.57079632675     		φ = -0.81884746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28829251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.517944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81884746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.916504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29761 KachelY 42463 -0.28829251 -0.81884746 -16.517944 -46.916504
    Oben rechts KachelX + 1 29762 KachelY 42463 -0.28819664 -0.81884746 -16.512451 -46.916504
    Unten links KachelX 29761 KachelY + 1 42464 -0.28829251 -0.81891294 -16.517944 -46.920255
    Unten rechts KachelX + 1 29762 KachelY + 1 42464 -0.28819664 -0.81891294 -16.512451 -46.920255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81884746--0.81891294) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dl = 417.173080000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81884746--0.81891294) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dr = 417.173080000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28829251--0.28819664) × cos(-0.81884746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683063428801954 × 6371000     		do = 417.20678844649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28829251--0.28819664) × cos(-0.81891294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68301560342657 × 6371000     		du = 417.17757729211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81884746)-sin(-0.81891294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683063428801954-0.68301560342657)×R²
    abs(-0.28819664--0.28829251)×4.78253753840585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78253753840585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78253753840585e-05×40589641000000     		ar = 174041.347941488m²