Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29760 / 29629
↖ ↑ ↗
← S 80.978522°
E146.953125°		 ← 191.55 m → S 80.978522°
E146.964111°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 80.980244°
E146.953125°		 ← 191.51 m →
36 680 m²		 S 80.980244°
E146.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908218383789062 y=0.904220581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908218383789062 × 215)
    floor (0.908218383789062 × 32768)
    floor (29760.5)     		tx = 29760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904220581054688 × 215)
    floor (0.904220581054688 × 32768)
    floor (29629.5)     		ty = 29629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29760 / 29629 ti = "15/29760/29629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29760/29629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29760 ÷ 215
    29760 ÷ 32768     		x = 0.908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29629 ÷ 215
    29629 ÷ 32768     		y = 0.904205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908203125 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56481588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.80841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53969694187058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56481588} λ = 2.56481588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53969694187058))-π/2
    2×atan(0.0788903045163478)-π/2
    2×0.0787272502890579-π/2
    0.157454500578116-1.57079632675     		φ = -1.41334183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56481588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41334183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.978522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29760 KachelY 29629 2.56481588 -1.41334183 146.953125 -80.978522
    Oben rechts KachelX + 1 29761 KachelY 29629 2.56500762 -1.41334183 146.964111 -80.978522
    Unten links KachelX 29760 KachelY + 1 29630 2.56481588 -1.41337189 146.953125 -80.980244
    Unten rechts KachelX + 1 29761 KachelY + 1 29630 2.56500762 -1.41337189 146.964111 -80.980244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41334183--1.41337189) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41334183--1.41337189) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56481588-2.56500762) × cos(-1.41334183) × R
    0.000191739999999996 × 0.156804702956326 × 6371000     		do = 191.548789688409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56481588-2.56500762) × cos(-1.41337189) × R
    0.000191739999999996 × 0.156775014738822 × 6371000     		du = 191.51252328808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41334183)-sin(-1.41337189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156804702956326-0.156775014738822)×R²
    abs(2.56500762-2.56481588)×2.9688217503987e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9688217503987e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9688217503987e-05×40589641000000     		ar = 36680.4688860517m²