Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29760 / 19650
↖ ↑ ↗
← N 58.257508°
W 16.523438°		 ← 321.37 m → N 58.257508°
W 16.517944°		 →
↑
321.35 m
↓
↑
321.35 m
↓
N 58.254618°
W 16.523438°		 ← 321.40 m →
103 278 m²		 N 58.254618°
W 16.517944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454109191894531 y=0.299842834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454109191894531 × 216)
    floor (0.454109191894531 × 65536)
    floor (29760.5)     		tx = 29760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299842834472656 × 216)
    floor (0.299842834472656 × 65536)
    floor (19650.5)     		ty = 19650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29760 / 19650 ti = "16/29760/19650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29760/19650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29760 ÷ 216
    29760 ÷ 65536     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19650 ÷ 216
    19650 ÷ 65536     		y = 0.299835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299835205078125 × 2 - 1) × π
    0.40032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25767249843179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25767249843179))-π/2
    2×atan(3.51722560498943)-π/2
    2×1.29379082410552-π/2
    2.58758164821104-1.57079632675     		φ = 1.01678532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01678532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.257508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29760 KachelY 19650 -0.28838839 1.01678532 -16.523438 58.257508
    Oben rechts KachelX + 1 29761 KachelY 19650 -0.28829251 1.01678532 -16.517944 58.257508
    Unten links KachelX 29760 KachelY + 1 19651 -0.28838839 1.01673488 -16.523438 58.254618
    Unten rechts KachelX + 1 29761 KachelY + 1 19651 -0.28829251 1.01673488 -16.517944 58.254618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01678532-1.01673488) × R
    5.0440000000096e-05 × 6371000     		dl = 321.353240000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01678532-1.01673488) × R
    5.0440000000096e-05 × 6371000     		dr = 321.353240000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28829251) × cos(1.01678532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526102496876292 × 6371000     		do = 321.370488848554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28829251) × cos(1.01673488) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526145391450729 × 6371000     		du = 321.396691062832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01678532)-sin(1.01673488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526102496876292-0.526145391450729)×R²
    abs(-0.28829251--0.28838839)×4.28945744365139e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28945744365139e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28945744365139e-05×40589641000000     		ar = 103277.657937316m²