Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29759 / 42479
↖ ↑ ↗
← S 46.976504°
W 16.528931°		 ← 416.74 m → S 46.976504°
W 16.523438°		 →
↑
416.79 m
↓
↑
416.79 m
↓
S 46.980253°
W 16.528931°		 ← 416.71 m →
173 687 m²		 S 46.980253°
W 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454093933105469 y=0.648185729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454093933105469 × 216)
    floor (0.454093933105469 × 65536)
    floor (29759.5)     		tx = 29759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648185729980469 × 216)
    floor (0.648185729980469 × 65536)
    floor (42479.5)     		ty = 42479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29759 / 42479 ti = "16/29759/42479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29759/42479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29759 ÷ 216
    29759 ÷ 65536     		x = 0.454086303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42479 ÷ 216
    42479 ÷ 65536     		y = 0.648178100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454086303710938 × 2 - 1) × π
    -0.091827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28848426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648178100585938 × 2 - 1) × π
    -0.296356201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.931030464420731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28848426} λ = -0.28848426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931030464420731))-π/2
    2×atan(0.394147346218855)-π/2
    2×0.375450826012977-π/2
    0.750901652025954-1.57079632675     		φ = -0.81989467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28848426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.528931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81989467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.976504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29759 KachelY 42479 -0.28848426 -0.81989467 -16.528931 -46.976504
    Oben rechts KachelX + 1 29760 KachelY 42479 -0.28838839 -0.81989467 -16.523438 -46.976504
    Unten links KachelX 29759 KachelY + 1 42480 -0.28848426 -0.81996009 -16.528931 -46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 29760 KachelY + 1 42480 -0.28838839 -0.81996009 -16.523438 -46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81989467--0.81996009) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dl = 416.79081999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81989467--0.81996009) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dr = 416.79081999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28848426--0.28838839) × cos(-0.81989467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682298215093296 × 6371000     		do = 416.739405271805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28848426--0.28838839) × cos(-0.81996009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 416.710192319531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81989467)-sin(-0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682298215093296-0.682250386774346)×R²
    abs(-0.28838839--0.28848426)×4.78283189492279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78283189492279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78283189492279e-05×40589641000000     		ar = 173687.070666178m²