Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29758 / 42482
↖ ↑ ↗
← S 46.987747°
W 16.534424°		 ← 416.70 m → S 46.987747°
W 16.528931°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
S 46.991495°
W 16.534424°		 ← 416.67 m →
173 616 m²		 S 46.991495°
W 16.528931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454078674316406 y=0.648231506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454078674316406 × 216)
    floor (0.454078674316406 × 65536)
    floor (29758.5)     		tx = 29758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648231506347656 × 216)
    floor (0.648231506347656 × 65536)
    floor (42482.5)     		ty = 42482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29758 / 42482 ti = "16/29758/42482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29758/42482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29758 ÷ 216
    29758 ÷ 65536     		x = 0.454071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42482 ÷ 216
    42482 ÷ 65536     		y = 0.648223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.09185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28858014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.29644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.931318085818451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28858014} λ = -0.28858014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931318085818451))-π/2
    2×atan(0.394033997309795)-π/2
    2×0.375352714546398-π/2
    0.750705429092797-1.57079632675     		φ = -0.82009090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28858014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.534424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82009090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.987747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29758 KachelY 42482 -0.28858014 -0.82009090 -16.534424 -46.987747
    Oben rechts KachelX + 1 29759 KachelY 42482 -0.28848426 -0.82009090 -16.528931 -46.987747
    Unten links KachelX 29758 KachelY + 1 42483 -0.28858014 -0.82015630 -16.534424 -46.991495
    Unten rechts KachelX + 1 29759 KachelY + 1 42483 -0.28848426 -0.82015630 -16.528931 -46.991495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82009090--0.82015630) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82009090--0.82015630) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28858014--0.28848426) × cos(-0.82009090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682154743313251 × 6371000     		do = 416.695234541887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28858014--0.28848426) × cos(-0.82015630) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682106920861666 × 6371000     		du = 416.66602212656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82009090)-sin(-0.82015630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682154743313251-0.682106920861666)×R²
    abs(-0.28848426--0.28858014)×4.78224515846337e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78224515846337e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78224515846337e-05×40589641000000     		ar = 173615.567377713m²