Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29756 / 21949
↖ ↑ ↗
← N 75.890100°
W 98.272705°		 ← 74.46 m → N 75.890100°
W 98.269958°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.889430°
W 98.272705°		 ← 74.46 m →
5 545 m²		 N 75.889430°
W 98.269958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227024078369141 y=0.167461395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227024078369141 × 217)
    floor (0.227024078369141 × 131072)
    floor (29756.5)     		tx = 29756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167461395263672 × 217)
    floor (0.167461395263672 × 131072)
    floor (21949.5)     		ty = 21949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29756 / 21949 ti = "17/29756/21949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29756/21949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29756 ÷ 217
    29756 ÷ 131072     		x = 0.227020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21949 ÷ 217
    21949 ÷ 131072     		y = 0.167457580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.54595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71518227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167457580566406 × 2 - 1) × π
    0.665084838867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.08942564373939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71518227} λ = -1.71518227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08942564373939))-π/2
    2×atan(8.08027287595523)-π/2
    2×1.44766421717156-π/2
    2.89532843434312-1.57079632675     		φ = 1.32453211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71518227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32453211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.890100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29756 KachelY 21949 -1.71518227 1.32453211 -98.272705 75.890100
    Oben rechts KachelX + 1 29757 KachelY 21949 -1.71513433 1.32453211 -98.269958 75.890100
    Unten links KachelX 29756 KachelY + 1 21950 -1.71518227 1.32452042 -98.272705 75.889430
    Unten rechts KachelX + 1 29757 KachelY + 1 21950 -1.71513433 1.32452042 -98.269958 75.889430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32453211-1.32452042) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dl = 74.476990000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32453211-1.32452042) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dr = 74.476990000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71518227--1.71513433) × cos(1.32453211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243782594529378 × 6371000     		do = 74.4574793332065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71518227--1.71513433) × cos(1.32452042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243793931824322 × 6371000     		du = 74.4609420349043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32453211)-sin(1.32452042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243782594529378-0.243793931824322)×R²
    abs(-1.71513433--1.71518227)×1.13372949439028e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13372949439028e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13372949439028e-05×40589641000000     		ar = 5545.49788942293m²