Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29756 / 17898
↖ ↑ ↗
← N 62.970205°
W 16.545410°		 ← 277.57 m → N 62.970205°
W 16.539917°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 62.967709°
W 16.545410°		 ← 277.60 m →
77 054 m²		 N 62.967709°
W 16.539917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454048156738281 y=0.273109436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454048156738281 × 216)
    floor (0.454048156738281 × 65536)
    floor (29756.5)     		tx = 29756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273109436035156 × 216)
    floor (0.273109436035156 × 65536)
    floor (17898.5)     		ty = 17898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29756 / 17898 ti = "16/29756/17898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29756/17898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29756 ÷ 216
    29756 ÷ 65536     		x = 0.45404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17898 ÷ 216
    17898 ÷ 65536     		y = 0.273101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273101806640625 × 2 - 1) × π
    0.45379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42564339470047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28877188} λ = -0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42564339470047))-π/2
    2×atan(4.16053384722858)-π/2
    2×1.33491686924432-π/2
    2.66983373848865-1.57079632675     		φ = 1.09903741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09903741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.970205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29756 KachelY 17898 -0.28877188 1.09903741 -16.545410 62.970205
    Oben rechts KachelX + 1 29757 KachelY 17898 -0.28867601 1.09903741 -16.539917 62.970205
    Unten links KachelX 29756 KachelY + 1 17899 -0.28877188 1.09899384 -16.545410 62.967709
    Unten rechts KachelX + 1 29757 KachelY + 1 17899 -0.28867601 1.09899384 -16.539917 62.967709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09903741-1.09899384) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09903741-1.09899384) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28877188--0.28867601) × cos(1.09903741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454453778439399 × 6371000     		do = 277.574809901069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28877188--0.28867601) × cos(1.09899384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454492588870881 × 6371000     		du = 277.598514837966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09903741)-sin(1.09899384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454453778439399-0.454492588870881)×R²
    abs(-0.28867601--0.28877188)×3.88104314815729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88104314815729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88104314815729e-05×40589641000000     		ar = 77053.7465649536m²