Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29755 / 40879
↖ ↑ ↗
← S 40.643135°
W 16.550903°		 ← 463.50 m → S 40.643135°
W 16.545410°		 →
↑
463.49 m
↓
↑
463.49 m
↓
S 40.647304°
W 16.550903°		 ← 463.47 m →
214 822 m²		 S 40.647304°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454032897949219 y=0.623771667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454032897949219 × 216)
    floor (0.454032897949219 × 65536)
    floor (29755.5)     		tx = 29755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623771667480469 × 216)
    floor (0.623771667480469 × 65536)
    floor (40879.5)     		ty = 40879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29755 / 40879 ti = "16/29755/40879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29755/40879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29755 ÷ 216
    29755 ÷ 65536     		x = 0.454025268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40879 ÷ 216
    40879 ÷ 65536     		y = 0.623764038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454025268554688 × 2 - 1) × π
    -0.091949462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28886776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.247528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.777632385636551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28886776} λ = -0.28886776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777632385636551))-π/2
    2×atan(0.459492625796326)-π/2
    2×0.430719896274244-π/2
    0.861439792548487-1.57079632675     		φ = -0.70935653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28886776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.550903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70935653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.643135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29755 KachelY 40879 -0.28886776 -0.70935653 -16.550903 -40.643135
    Oben rechts KachelX + 1 29756 KachelY 40879 -0.28877188 -0.70935653 -16.545410 -40.643135
    Unten links KachelX 29755 KachelY + 1 40880 -0.28886776 -0.70942928 -16.550903 -40.647304
    Unten rechts KachelX + 1 29756 KachelY + 1 40880 -0.28877188 -0.70942928 -16.545410 -40.647304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70935653--0.70942928) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dl = 463.490250000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70935653--0.70942928) × R
    7.27500000000658e-05 × 6371000     		dr = 463.490250000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28886776--0.28877188) × cos(-0.70935653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.75878115443696 × 6371000     		do = 463.50259118389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28886776--0.28877188) × cos(-0.70942928) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.758733767032798 × 6371000     		du = 463.473644517925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70935653)-sin(-0.70942928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75878115443696-0.758733767032798)×R²
    abs(-0.28877188--0.28886776)×4.73874041616584e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73874041616584e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73874041616584e-05×40589641000000     		ar = 214822.223709762m²