Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29754 / 42459
↖ ↑ ↗
← S 46.901493°
W 16.556396°		 ← 417.32 m → S 46.901493°
W 16.550903°		 →
↑
417.30 m
↓
↑
417.30 m
↓
S 46.905245°
W 16.556396°		 ← 417.29 m →
174 143 m²		 S 46.905245°
W 16.550903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454017639160156 y=0.647880554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454017639160156 × 216)
    floor (0.454017639160156 × 65536)
    floor (29754.5)     		tx = 29754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647880554199219 × 216)
    floor (0.647880554199219 × 65536)
    floor (42459.5)     		ty = 42459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29754 / 42459 ti = "16/29754/42459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29754/42459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29754 ÷ 216
    29754 ÷ 65536     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42459 ÷ 216
    42459 ÷ 65536     		y = 0.647872924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647872924804688 × 2 - 1) × π
    -0.295745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.929112988435928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929112988435928))-π/2
    2×atan(0.394903839336612)-π/2
    2×0.376105429753845-π/2
    0.752210859507691-1.57079632675     		φ = -0.81858547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81858547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.901493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29754 KachelY 42459 -0.28896363 -0.81858547 -16.556396 -46.901493
    Oben rechts KachelX + 1 29755 KachelY 42459 -0.28886776 -0.81858547 -16.550903 -46.901493
    Unten links KachelX 29754 KachelY + 1 42460 -0.28896363 -0.81865097 -16.556396 -46.905245
    Unten rechts KachelX + 1 29755 KachelY + 1 42460 -0.28886776 -0.81865097 -16.550903 -46.905245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81858547--0.81865097) × R
    6.54999999999406e-05 × 6371000     		dl = 417.300499999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81858547--0.81865097) × R
    6.54999999999406e-05 × 6371000     		dr = 417.300499999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.81858547) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.683254752126812 × 6371000     		do = 417.32364639367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.81865097) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.683206923866187 × 6371000     		du = 417.294433477021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81858547)-sin(-0.81865097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683254752126812-0.683206923866187)×R²
    abs(-0.28886776--0.28896363)×4.78282606244385e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.78282606244385e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.78282606244385e-05×40589641000000     		ar = 174143.271081929m²