Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29754 / 41290
↖ ↑ ↗
← S 42.334184°
W 16.556396°		 ← 451.51 m → S 42.334184°
W 16.550903°		 →
↑
451.51 m
↓
↑
451.51 m
↓
S 42.338245°
W 16.556396°		 ← 451.48 m →
203 857 m²		 S 42.338245°
W 16.550903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454017639160156 y=0.630043029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454017639160156 × 216)
    floor (0.454017639160156 × 65536)
    floor (29754.5)     		tx = 29754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630043029785156 × 216)
    floor (0.630043029785156 × 65536)
    floor (41290.5)     		ty = 41290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29754 / 41290 ti = "16/29754/41290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29754/41290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29754 ÷ 216
    29754 ÷ 65536     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41290 ÷ 216
    41290 ÷ 65536     		y = 0.630035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.26007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.817036517124237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817036517124237))-π/2
    2×atan(0.441738802070144)-π/2
    2×0.415962711565572-π/2
    0.831925423131143-1.57079632675     		φ = -0.73887090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73887090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.334184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29754 KachelY 41290 -0.28896363 -0.73887090 -16.556396 -42.334184
    Oben rechts KachelX + 1 29755 KachelY 41290 -0.28886776 -0.73887090 -16.550903 -42.334184
    Unten links KachelX 29754 KachelY + 1 41291 -0.28896363 -0.73894177 -16.556396 -42.338245
    Unten rechts KachelX + 1 29755 KachelY + 1 41291 -0.28886776 -0.73894177 -16.550903 -42.338245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73887090--0.73894177) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dl = 451.512770000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73887090--0.73894177) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dr = 451.512770000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.73887090) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.739229426324362 × 6371000     		do = 451.512292823288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.73894177) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.739181696805892 × 6371000     		du = 451.483140217138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73887090)-sin(-0.73894177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739229426324362-0.739181696805892)×R²
    abs(-0.28886776--0.28896363)×4.77295184700965e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.77295184700965e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.77295184700965e-05×40589641000000     		ar = 203856.984720042m²