Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29754 / 40910
↖ ↑ ↗
← S 40.772222°
W 16.556396°		 ← 462.56 m → S 40.772222°
W 16.550903°		 →
↑
462.53 m
↓
↑
462.53 m
↓
S 40.776382°
W 16.556396°		 ← 462.53 m →
213 942 m²		 S 40.776382°
W 16.550903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454017639160156 y=0.624244689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454017639160156 × 216)
    floor (0.454017639160156 × 65536)
    floor (29754.5)     		tx = 29754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624244689941406 × 216)
    floor (0.624244689941406 × 65536)
    floor (40910.5)     		ty = 40910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29754 / 40910 ti = "16/29754/40910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29754/40910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29754 ÷ 216
    29754 ÷ 65536     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40910 ÷ 216
    40910 ÷ 65536     		y = 0.624237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.24847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780604473412994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780604473412994))-π/2
    2×atan(0.458129000790213)-π/2
    2×0.429593405849369-π/2
    0.859186811698738-1.57079632675     		φ = -0.71160952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71160952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.772222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29754 KachelY 40910 -0.28896363 -0.71160952 -16.556396 -40.772222
    Oben rechts KachelX + 1 29755 KachelY 40910 -0.28886776 -0.71160952 -16.550903 -40.772222
    Unten links KachelX 29754 KachelY + 1 40911 -0.28896363 -0.71168212 -16.556396 -40.776382
    Unten rechts KachelX + 1 29755 KachelY + 1 40911 -0.28886776 -0.71168212 -16.550903 -40.776382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71160952--0.71168212) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dl = 462.534599999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71160952--0.71168212) × R
    7.25999999999782e-05 × 6371000     		dr = 462.534599999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.71160952) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.757311754663626 × 6371000     		do = 462.556757826041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28886776) × cos(-0.71168212) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		du = 462.527798129151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71160952)-sin(-0.71168212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757311754663626-0.757264340981964)×R²
    abs(-0.28886776--0.28896363)×4.74136816627224e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.74136816627224e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.74136816627224e-05×40589641000000     		ar = 213941.807621597m²